Iwasawa-Theorie

Die Iwasawa-Theorie ist innerhalb der Mathematik im Bereich der Zahlentheorie eine Theorie zur Bestimmung der Idealklassengruppe von unendlichen Körpertürmen, deren Galoisgruppe isomorph zu den $p$-adischen Zahlen ist. Die Theorie wurde in den 1950ern von Kenkichi Iwasawa zur Untersuchung von Kreisteilungskörpern begründet. In den frühen 1970er Jahren betrachtete Barry Mazur Verallgemeinerungen der Iwasawa-Theorie auf abelsche Varietäten. Darüber hinaus schlug Ralph Greenberg eine Iwasawa-Theorie für Motive vor.

Situation

Die Ausgangsbeobachtung von Iwasawa war, dass es in der Algebraischen Zahlentheorie Körpertürme gibt, deren Galoisgruppe isomorph zur additiven Gruppe der $p$-adischen Zahlen ist. Diese Gruppe wird häufig multiplikativ geschrieben und mit $\Gamma$ bezeichnet; sie ist der inverse Limes der (additiven) Gruppen

$\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$,

wobei $p$ eine fixierte Primzahl ist und $n$ die natürlichen Zahlen durchläuft.

Beispiel

Sei $\zeta =\zeta _{p}$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel und betrachte den Körperturm

$K=\mathbf {Q} (\zeta )\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset \mathbf {C} ,$

wobei $K_{n}$ den von einer primitiven $p^{n+1}$-ten Einheitswurzel erzeugten Körper bezeichnet (beachte die Indizierung). Sei $K_{\infty }$ die Vereinigung all dieser Körper. Dann ist die Galoisgruppe $\operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)$ isomorph zu $\Gamma$, da die Galoisgruppen von $K_{n}$ über $K$ gleich $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ sind. Ein interessanter Galois-Modul (also eine abelsche Gruppe, auf der die Galoisgruppe operiert) ergibt sich bei Betrachtung der $p$-Torsion der Idealklassengruppen der beteiligten Zahlkörper. Sei die $p$-Torsion der Idealklassengruppen von $K_{n}$ mit $I_{n}$ bezeichnet. Diese sind durch Norm-Abbildungen $I_{m}\rightarrow I_{n}$ für $m>n$ miteinander verbunden und bilden ein gerichtetes System. Die Gruppe $\Gamma$ operiert dann auf dem inversen Limes $I$. Darüber hinaus ist $I$ ein Modul über dem proendlichen Gruppenring $\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]$ (diese Beobachtung geht auf Jean-Pierre Serre zurück). Dieser Ring, der auch Iwasawa-Algebra genannt wird, ist regulär und zweidimensional, und es ist möglich, seine Moduln weitgehend zu klassifizieren.

Die Motivation war hier, dass die $p$-Torsion der Idealklassengruppe von $K_{\infty }$, wie bereits Kummer erkannte, ein Haupthindernis für einen Beweis des Großen Satzes von Fermat war. Kummer nannte in diesem Zusammenhang eine Primzahl regulär, wenn sie nicht die Klassenzahl von $\mathbf {Q} (\zeta _{p})$ teilt. Iwasawas Idee war es, diese Torsion systematisch mit unendlicher Galois-Theorie zu studieren. Mit diesen Methoden konnte Iwasawa die $p$-Torsionen numerisch beschreiben. Dies ist der Inhalt des Satzes von Iwasawa.

Satz von Iwasawa

Sei wie oben ein Körperturm $K_{n}$ gegeben, dessen Galoisgruppe die $p$-adischen Zahlen sind, und sei $p^{e_{n}}\,$ die Ordnung der $p$-Torsion von $I_{n}$. Dann gibt es ganze Zahlen $\mu$, $\lambda$ und $\nu$ derart, dass für $n$ hinreichend groß die Beziehung $e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu$ gilt.

Beweisidee

Aufgrund der Klassenkörpertheorie gibt es eine Erweiterung $L_{n}$ von $K_{n}$ derart, dass $I_{n}\simeq \operatorname {Gal} (L_{n}/K_{n})$, und zwar ist $L_{n}$ die maximale unverzweigte $p$-abelsche Erweiterung von $K_{n}$. Die Vereinigung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_n} bildet dann einen Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_\infty} , der die maximale unverzweigte abelsche pro-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Erweiterung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_\infty} ist. Man betrachtet dann die Galoisgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\operatorname{Gal}(L_\infty/K_\infty)} , die der inverse Limes der Gruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Gal}(L_n/K_n)} ist, welche als Quotienten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auftreten. Die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} besitzt als abelsche pro-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Gruppe die Struktur eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} -Moduls. Daneben operiert die Galoisgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Gal}(K_\infty/K)} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , das dadurch ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Z}_p[[T]]} -Modul wird (also ein Iwasawa-Modul). Durch Strukturuntersuchungen und die Klassifikation bis auf Pseudo-Isomorphismen aller Iwasawa-Moduln gelangt man zu asymptotischen Abschätzungen für die Ordnungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Gal}(L_n/K_n)} und damit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_n} .

Weitere Entwicklungen und Hauptvermutung

In den 1960ern wurde ein fundamentaler Zusammenhang zwischen der von Iwasawa entwickelten Modultheorie einerseits und p-adischen L-Funktionen andererseits entdeckt, die von Tomio Kubota und Heinrich-Wolfgang Leopoldt definiert wurden. Diese Funktionen werden ausgehend von Bernoulli-Zahlen mittels Interpolation definiert und stellen p-adische Analogien zu den Dirichlet L-Funktionen dar. Die sogenannte Hauptvermutung der Iwasawa-Theorie besagt, dass diese beiden Ansätze (Modultheorie und Interpolation), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -adische L-Funktionen zu definieren, miteinander übereinstimmen. Diese Vermutung wurde 1984 von Barry Mazur und Andrew Wiles für die rationalen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} und später für alle total reellen Zahlkörper von Andrew Wiles bewiesen. Diese Beweise orientierten sich an Ken Ribets Beweis der Umkehrung des Satzes von Herbrand. Im Jahr 2014 ist Chris Skinner und Eric Urban ein Beweis der Hauptvermutung für gewisse Familien von Spitzenformen gelungen. Während die Arbeiten von Mazur und Wiles als den Fall von GL(1) über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} , beziehungsweise über einem allgemeinen total reellen Zahlkörper behandelnd angesehen werden können, lösten Skinner-Urban den Fall GL(2) über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} .

Literatur

• John Coates, Ramdorai Sujatha: Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-33068-2.
• Ralph Greenberg: Iwasawa Theory – Past & Present. In: Advanced Studies in Pure Mathematics. Bd. 30, 2001, ZDB-ID 47532-4, S. 335–385.
• Serge Lang: Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 59). Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90307-0.
• Barry Mazur, Andrew Wiles: Class Fields of Abelian Extensions of Q. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 76, Nr. 2, 1984, S. 179–330, doi:10.1007/BF01388599.
• Chris Skinner, Eric Urban Sur les déformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa. In: Académie des Sciences Paris. Comptes Rendus Mathematique. Bd. 335, Nr. 1, 2002, ISSN 1631-073X, S. 581–586, doi:10.1016/S1631-073X(02)02540-2.
• Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 83). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0.
• Andrew Wiles: The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields. In: Annals of Mathematics. Bd. 131, Nr. 3, 1990, S. 493–540.