Jackknife-Methode

Die

Jackknife-Methode

(englisch ‚Taschenmesser‘) ist in der Statistik eine Methode des Resampling. Jackknife dient dazu, den zufälligen Fehler einer Schätzmethode und eine etwaige Verzerrung (engl.

bias

) zu schätzen.

Aus Überlegungen zur Verbesserung der Jackknife-Methode entstand das Bootstrapping-Verfahren. Die Methode wurde 1956 bzw. 1958 zuerst von M. H. Quenouille und John W. Tukey veröffentlicht. Der Name soll die allgemeine Einsetzbarkeit der Methode für statistische Zwecke betonen.

Methode

Häufig wird Jackknife mit

delete-1 Jackknife

gleichgesetzt. Dabei wird aus der ursprünglichen Stichprobe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \dots x_N} jeweils ein Wert weggelassen und der Schätzer für diese reduzierte Stichprobe berechnet. Wird aus der ursprünglichen Stichprobe nicht nur ein Wert weggelassen, sondern d viele, so spricht man von delete-d Jackknife.

Durch das Weglassen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} von insgesamt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} Werten, können Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \binom{N}{d}} unterschiedliche reduzierte Stichproben erzeugt werden, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N-d} viele Werte haben.

Der Stichprobenmittelwert der ursprünglichen Stichprobe sei ${\hat {A}}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{k}$. Im Folgenden wird die delete-1-Jackknife-Methode beschrieben. Der Mittelwert der reduzierten Jackknife-Stichprobe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} , welche durch Streichen des Wertes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} entsteht, sei:

$A_{(i)}:={\frac {1}{N-1}}\sum _{k\neq i}x_{k}.$

Dann ist der Mittelwert über alle Jackknife-Stichproben gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{(*)}:=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} A_{(i)}} .

Die Varianz des Stichprobenmittelwertes kann durch folgende Formel abgeschätzt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Var}(\overline{x})=\frac{N-1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left( A_{(i)}-{A}_{(*)} \right)^2} .

Die Jackknife-Methode liefert für die Verzerrung der Schätzfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{A}} den geschätzten Wert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \widehat{\text{bias}}_\mathrm{(A)}:= (N-1)({A}_{(*)}-\hat A)}

und somit ist der um die Verzerrung korrigierte Wert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{A}_{\text{jack}}=\hat{A} - \widehat{\text{bias}}_\mathrm{A}=N\hat{A} - (N-1)\hat{A}_\mathrm{(*)}}

Literatur

• Joseph Lee Rodgers: The Bootstrap, the Jackknife, and the Randomization Test: A Sampling Taxonomy. Multivariate Behavioral Research, 34, Nr. 4 S. 441ff (1999)