Jarque-Bera-Test
Der Jarque-Bera-Test ist ein statistischer Test, der anhand der Schiefe und der Kurtosis in den Daten prüft, ob eine Normalverteilung vorliegt. Es handelt sich daher um einen speziellen Anpassungstest. Der Test wurde von Carlos M. Jarque und Anil K. Bera vorgeschlagen.
Definition
Die Teststatistik JB des Jarque-Bera-Tests ist definiert als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathit{JB} = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K-3)^2}{4} \right). }
Dabei ist Anzahl der Beobachtungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,\ldots,x_n} ; mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} wird die Schiefe und mit die Kurtosis bezeichnet.
Die Schiefe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} in den Daten ist wie folgt definiert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}} }
Bei symmetrischen Verteilungen wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe null.
Die Kurtosis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , ein Maß für die Wölbung einer Verteilung, hat bei Normalverteilung einen Wert von drei. Werte, die darüber liegen, zeigen an, dass die Verteilung fette Verteilungsenden (siehe Verteilung mit schweren Rändern) hat, d. h., dass die Dichte einer Verteilung an den Rändern, zum Beispiel außerhalb der üblichen ±2σ-Schranken, größer und dafür in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung. Dies gilt zum Beispiel für die t-Verteilung. Die Kurtosis ist wie folgt definiert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \right)^2}, }
wobei und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_4} das dritte und das vierte zentrale Moment darstellen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}} der Mittelwert der Stichprobe ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} das zweite Moment, also die Varianz, symbolisiert.
Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathit{JB}\sim\chi^2_2} , d. h., die Teststatistik ist asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden.
Das Hypothesenpaar lautet:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_0\colon}
Die Stichprobe ist normalverteilt.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_1\colon} Die Stichprobe ist nicht normalverteilt.
Bei einem Signifikanzniveau gilt: Für Werte der Teststatistik über 4,6 wird die Hypothese der Normalverteilung verworfen; für die Signifikanzniveaus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 0{,}05} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 0{,}02} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 0{,}01} ergeben sich die Schranken 6, 7,8 und 9,2.
Literatur
- Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. In: Economics Letters. 6, Nr. 3, 1980, S. 255–259. doi:10.1016/0165-1765(80)90024-5.
- Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. In: Economics Letters. 7, Nr. 4, 1981, S. 313–318. doi:10.1016/0165-1765(81)90035-5.
- George Judge, et al.: Introduction and the Theory and Practice of Econometrics, 3rd edn.. Auflage 1988, S. 890–892.
