Cartan-Projektion

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In der Mathematik ist die Cartan-Projektion ein Hilfsmittel in der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Es sei eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und eine Cartan-Unteralgebra. Zu einem Wurzelsystem sei die positive Weyl-Kammer und .

Dann gibt es eine eindeutige maximal kompakte Untergruppe mit

und eine eindeutige Abbildung

,

so dass sich jedes auf eindeutige Weise als mit (von abhängenden) zerlegen lässt.

Die Abbildung heißt Cartan-Projektion. Es gilt .

Beispiel

Es sei

.

Dann ist die Cartan-Projektion gegeben durch

,

wobei der -te Eigenwert von ist.

Jordan-Projektion

Eine andere stetige Projektion kann man durch die Jordan-Zerlegung definieren, sie hängt mit der Cartan-Projektion über

zusammen.[1] Im Fall erhält man die Abbildung

,

wobei die Eigenwerte (evtl. mit Wiederholungen) in aufsteigender Reihenfolge sind.

Literatur

  • Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7 (Kapitel 9)
  • Benoist, Yves: Actions propres sur les espaces homogènes réductifs. (Kapitel 3) pdf

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Benoist: Propriétés asymptotiques des groupes linéaires, GAFA 7 (1997), 1-47