Jordansche Ungleichung
Die Jordansche Ungleichung oder Jordan-Ungleichung liefert eine lineare obere und untere Abschätzung der Sinus-Funktion für spitze Winkel. Sie ist nach Camille Jordan benannt.
Ungleichung
Die Jordan-Ungleichung lautet:[1]
Sie wird unter anderem in der Funktionentheorie verwandt. Analytisch lässt sie sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung beweisen.[2] Geometrisch lässt sich ihre Richtigkeit unmittelbar am Einheitskreis mit Hilfe eines zweiten Kreises erkennen (siehe Zeichnung).[3]
Folgerungen, Erweiterungen und verwandte Ungleichungen
Als Folgerung aus der Jordan-Ungleichung erhält man, dass für eine reelle Zahl mit stets gilt:
- .
Nach US-amerikanischen Mathematikern Raymond Redheffer und J. P. Williams ist die verwandte Redheffer-Williams-Ungleichung benannt:[4][5] Für eine reelle Zahl ist stets
- .
Literatur
- Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168
- Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923
- Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality. Journal of Inequalities and Applications 2011, 2011:130, doi:10.1186/1029-242X-2011-130
- Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33
Weblinks
- Jordan-Ungleichung im Proof Wiki (englisch)
- Eric W. Weisstein: Jordan’s inequality. In: MathWorld (englisch).
- Jordan- und Kober-Ungleichungen auf cut-the-knot.org
Einzelnachweise
- ↑ Eric W. Weisstein: Jordan’s inequality. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168
- ↑ Nach Feng Yuefeng: Proof without words: Jordan’s inequality. In: Mathematics Magazine, Band 69, Nr. 2, 1996, S. 126
- ↑ Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923
- ↑ Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33