Kanonischer Divisor

In der Funktionentheorie ist der kanonische Divisor ein Begriff aus der Theorie riemannscher Flächen.

Definition

Sei $S$ eine riemannsche Fläche und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(S)} eine meromorphe 1-Form. Der kanonische Divisor von $\omega$ ist der Divisor

$(\omega ):=\Sigma _{x\in S}ord(\omega ,x)\cdot x$.

Dabei ist

$ord(\omega ,x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und nicht Null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\end{cases}}$

für eine Darstellung $\omega =f(z)dz$ in einer lokalen Koordinate $z$. Der Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ord(\omega,x)} hängt nur von $\omega$ und nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.

Für verschiedene meromorphe 1-Formen auf einer riemannschen Fläche $S$ erhält man äquivalente kanonische Divisoren, d. h. ihre Differenz ist ein Hauptdivisor. Die Äquivalenzklasse des kanonischen Divisors $K$ ist also unabhängig von der gewählten meromorphen 1-Form wohldefiniert.

Eigenschaften

Der Grad $deg(K):=\Sigma _{x}ord(\omega ,x)$ des kanonischen Divisors ist $2g-2$, wobei $g$ das Geschlecht der riemannschen Fläche $S$ ist.

Der Satz von Riemann-Roch stellt für beliebige Divisoren $D$ einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Lösungsräume von $D$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle K-D} her.

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen. (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1.