Karo (Mengenlehre)

$\Diamond$ (Karo) ist ein "kombinatorisches" Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

Für jede unendliche Kardinalzahl $\kappa$ ist $\Diamond _{\kappa }$ eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

• es gibt eine Folge $\langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle$ mit folgenden Eigenschaften:

• für alle $\alpha$ gilt $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
• für alle $A\subseteq \kappa$ ist die Menge $\{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ eine stationäre Teilmenge von $\kappa$.

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip $\Diamond _{\kappa }$ es ermöglicht, Teilmengen von $\kappa$ zu "erraten". Während die Anzahl der Teilmengen von $\kappa$ (also die Kardinalität der Potenzmenge von $\kappa$) zwar nach dem Satz von Cantor größer als $\kappa$ ist, postuliert $\Diamond _{\kappa }$, dass es eine transfinite Folge der Länge $\kappa$ gibt, die alle Teilmengen von $\kappa$ „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt $\Diamond _{\omega _{1}}$ schreibt man oft nur $\Diamond$.

Zusammenhang mit CH und GCH

Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus $\Diamond _{\kappa ^{+}}$ die Gleichung $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$. Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$ zusammen mit $\kappa ^{\omega }=\kappa$ kann man $\Diamond _{\kappa ^{+}}$ schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also $\Diamond _{\kappa ^{+}}$ für alle $\kappa$ mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen

◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.