Kegelhülle

Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.

Definition

Gegeben sei ein $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$ und $X$ eine beliebige Teilmenge von $V$. Dann heißt

$\operatorname {cone} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ Kegel }}}{\mathcal {K}}$

die Kegelhülle von $X$. Sie ist der kleinste Kegel, der $X$ enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

$\operatorname {cone} (X):=\{\lambda x\,|\,x\in X,\,\lambda \geq 0\}$.

Bemerkungen

• Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige $\mathbb {K}$-Vektorräume definieren, solange $\mathbb {K}$ ein geordneter Körper ist.
• Die Notation $\operatorname {cone} (X)$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise bezeichnet sie auch den kleinsten konvexen Kegel, der $X$ enthält und wird dann als konische Hülle oder positive Hülle bezeichnet.

Eigenschaften

• $\operatorname {cone}$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für $X,Y\subset V$

• $X\subset \operatorname {cone} (X)$,
• $X\subset Y\implies \operatorname {cone} (X)\subset \operatorname {cone} (Y)$,
• $\operatorname {cone} (\operatorname {cone} (X))=\operatorname {cone} (X)$.

• Ist $\operatorname {conv} (X)$ die konvexe Hülle von $X$ und $\operatorname {pos} (X)$ die konische Hülle, so gilt

$\operatorname {cone} (\operatorname {conv} (X))=\operatorname {conv} (\operatorname {cone} (X))=\operatorname {pos} (X)$.

• Insbesondere ist die Kegelhülle einer konvexen Menge ein konvexer Kegel.

Beispiele

Gegeben seien die beiden Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$.

Dann ist

$\operatorname {cone} (v_{1},v_{2})=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cup \lambda _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,\lambda _{1},\lambda _{2}\geq 0$

Betrachtet man den Vektorraum der $2\times 2$ Matrizen sowie als Menge $X$ aller Drehmatrizen

$R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

so ist $\operatorname {cone} (X)$ der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben

$\operatorname {cone} (X)={\begin{pmatrix}\lambda \cos \alpha &-\lambda \sin \alpha \\\lambda \sin \alpha &\lambda \cos \alpha \end{pmatrix}},\,\lambda \geq 0$.