Knödel-Zahl
In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eine zusammengesetzte Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} mit der Eigenschaft, dass alle zu teilerfremden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i < m} die Kongruenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^{m-n} \equiv 1 \pmod{m}} erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_n} bezeichnet.
Die Spezialfälle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_1} sind die Carmichael-Zahlen.
Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl, indem man setzt. Mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \varphi (m)} ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.
Beispiele
Beispiel 1:
Sei und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m:=12.}
Dann sind die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1, 5, 7} und zu teilerfremd. Es gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 1^{12-4} & = & 1 & & & \equiv & 1 \pmod{12} \\ 5^{12-4} & = & 390625 & = & 32552 \cdot 12+1 & \equiv & 1 \pmod{12} \\ 7^{12-4} & = & 5764801 & = & 480400 \cdot 12+1 & \equiv & 1 \pmod{12} \\ 11^{12-4} & = & 214358881 & = & 17863240 \cdot 12+1 & \equiv & 1 \pmod{12} \end{align} }
Somit erfüllen alle zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=12} teilerfremden Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} die Kongruenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^{m-n} \equiv 1 \pmod{m}} .
Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=12} eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 12 \in K_4} .
Beispiel 2:
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n:=4} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m:=14.}
Dann sind die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1, 3, 5, 9, 11} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 13} zu teilerfremd. Es gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 1^{14-4} & = & 1 & & & & \equiv & \quad 1 & \pmod{14} \\ 3^{14-4} & = & 59049 & = & 4217 \cdot 14 & +11 & \equiv & \quad 11 & \pmod{14} \\ 5^{14-4} & = & 9765625 & = & 697544 \cdot 14 & +9 & \equiv & \quad 9 & \pmod{14} \\ 9^{14-4} & = & 3486784401 & = & 249056028 \cdot 14 & +9 & \equiv & \quad 9 & \pmod{14} \\ 11^{14-4} & = & 25937424601 & = & 1852673185 \cdot 14 & +11 & \equiv & \quad 11 & \pmod{14} \\ 13^{14-4} & = & 137858491849 & = & 9847035132 \cdot 14 & +1 & \equiv & \quad 1 & \pmod{14} \end{align} }
Somit erfüllen nicht alle zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=14} teilerfremden Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} die Kongruenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^{m-n} \equiv 1 \pmod{m}} .
Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei abbrechnen können. Also ist keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 14\not \in K_{4}} .
Beispiel 3:
Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_1} bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{10}} :
| n | Kn | |
|---|---|---|
| 1 | {561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … } | Folge A002997 in OEIS |
| 2 | {4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … } | Folge A050990 in OEIS |
| 3 | {9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … } | Folge A033553 in OEIS |
| 4 | {6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … } | Folge A050992 in OEIS |
| 5 | {25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … } | Folge A050993 in OEIS |
| 6 | {8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … } | Folge A208154 in OEIS |
| 7 | {15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … } | Folge A208155 in OEIS |
| 8 | {12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … } | Folge A208156 in OEIS |
| 9 | {21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … } | Folge A208157 in OEIS |
| 10 | {12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … } | Folge A208158 in OEIS |
Literatur
- A. Makowski: Generalization of Morrow’s D-Numbers 1963, S. 71.
- Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 978-0-387-94457-9, S. 101.
