Kobordismuskategorie

In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie.

Es handelt sich um Kategorien ${\mathcal {C}}_{d}$ für $d\in \mathbb {N}$, deren Objekte die geschlossenen $(d-1)$-dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die $d$-dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.

Definition der Kategorie

Ein Objekt von ${\mathcal {C}}_{d}$ ist ein Paar $(M,a)$ mit $a\in \mathbb {R}$, so dass $M$ eine geschlossene, $(d-1)$-dimensionale $C^{\infty }$-Untermannigfaltigkeit

$M\subset \mathbb {R} ^{d-1+\infty }:=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\mathbb {R} ^{d-1+n}$

ist.

Der Identitäts-Morphismus von $(M,a)$ ist das Tripel $(\left\{a\right\}\times M,a,a)$. Ein von der Identität verschiedener Morphismus von $(M_{0},a_{0})$ nach $(M_{1},a_{1})$ ist ein Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W,a_0,a_1)} aus reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0,a_1} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0<a_1} und einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} -dimensionalen kompakten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\infty} -Untermannigfaltigkeit

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so dass es ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon>0} gibt mit

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W\cap (\left(a_1-\epsilon,a_1\right]\times\R^{d-1+\infty})=\left(a_1-\epsilon,a_1\right]\times M_1} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial W=W\cap(\left\{a_0,a_1\right\}\times\R^{d-1+\infty})} .

Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung

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von Teilmengen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\times\R^{d-1+\infty}} definiert.

Topologische Anreicherung der Kategorie

Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen

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und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{mor}{\mathcal C}_d\cong \operatorname{ob}{\mathcal C}_d\cup\bigcup_W \R_+^2\times \operatorname{Emb}(W,\left[0,1\right]\times\R^{d-1+\infty})/\operatorname{Diff}(W)} .

Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Emb}(.,\R^{d-1+\infty})} den Raum der Einbettungen in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{d-1+\infty}} mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\infty} -Topologie. Die Diffeomorphismengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Diff(.)} wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Emb}(.,\R^{d-1+\infty})/\operatorname{Diff}(.)} wird mit der Quotiententopologie versehen.

Literatur

• Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
• Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.