Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im $n$-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich $n.$ Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Definition

Ist $V$ ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist $U$ ein Untervektorraum von $V$, dann wird die Kodimension von $U$ in $V$ durch

$\operatorname {codim} (U,V)=\dim(V/U),$

also als die Dimension des Faktorraums $V/U$, definiert.

Eigenschaften

• Es gilt stets

$\dim U+\operatorname {codim} (U,V)=\dim V.$

Ist $V$ endlichdimensional, so ist also

$\operatorname {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.$

• Ist $W$ ein Komplementärraum von $U$ in $V$, d. h. $U\oplus W=V$, so ist

$\operatorname {codim} (U,V)=\dim W.$

• Sind $U_{1},U_{2}\subseteq V$ zwei Unterräume, so gilt stets

$\operatorname {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \operatorname {codim} (U_{1},V)+\operatorname {codim} (U_{2},V).$

• Sind $U,W\subseteq V$ Unterräume, so gilt

$\operatorname {codim} (U\cap W,W)=\operatorname {codim} (U,U+W)\leq \operatorname {codim} (U,V).$

Beispiele

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

Literatur

• V. E. Govorov, A. F. Kharshiladze: Codimension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).