Kommutative Algebra

Die kommutative Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik im Bereich der Algebra, das sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.

Als Begründer der kommutativen Algebra kann man David Hilbert nennen. Er scheint die Idealtheorie (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computeralgebrasystemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.

Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als nichtkommutative Algebra bezeichnet.

Übliche Annahmen

In der kommutativen Algebra werden die Bezeichnungen Modul, Ring und Algebra üblicherweise in einem engeren Sinn benutzt:

• Alle Moduln sind unitär: Wenn $1$ das Einselement des Ringes ist, dann gilt für alle Elemente des Moduls:

$1\cdot m=m$

• Alle Ringe sind unitär und kommutativ.
• Homomorphismen zwischen Ringen bilden Einselemente auf Einselemente ab.
• Ein Unterring hat dasselbe Einselement wie der Oberring.
• Alle Algebren sind unitär, kommutativ und assoziativ.

Literatur

• M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
  Knappe Einführung, Standardwerk.
• Hideyuki Matsumura: Commutative Algebra. W. A. Benjamin, New York 1970.
  Umfangreicher als Commutative Ring Theory, aber vergriffen.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel: Commutative Algebra. 2 Bde., Springer-Verlag, New York 1975, ISBN 0-387-90089-6.
• Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
• Yves Diers: Categories of Commutative Algebras. Oxford University Press, 1992, ISBN 0-198-53586-4.
• David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94269-6.
  Umfangreiches Standardwerk.