Konstante von Glaisher-Kinkelin

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem im Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion. Sie ist nach J. W. L. Glaisher und Hermann Kinkelin benannt.

Näherungswert

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit $A$ bezeichnet. Ein Näherungswert ist

$A=1,28242{\text{ }}71291{\text{ }}00622{\text{ }}63687{\text{ }}53425{\text{ }}68869{\text{ }}79172{\text{ }}77676{\text{ }}88927{\text{ }}32500{\text{ }}11920{\text{ }}63740{\text{ }}02174{\text{ }}04063{\text{ }}08858{\text{ }}82646{\text{ }}11297{\text{ }}36491{\text{ }}95820{\text{ }}23743{\text{ }}...$

Die einzelnen Nachkommastellen bilden die Folge A074962 in OEIS.

Definitionen

Eine mögliche Definition von $A$ ist

$A=\lim _{n\to \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}n^{2}}}}$

mit der K-Funktion $K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

Eine andere Definition ist

$A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1)\right),$

die einen Zusammenhang zur Ableitung der riemannschen Zetafunktion $\zeta$ darstellt.

Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl $\pi$ lautet:

$A=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{{\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{12}}}\,(2\pi )^{{\frac {1}{2}}n}\,e^{-{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}$

mit der barnesschen G-Funktion $G(n+1)=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!.$

Eine andere Möglichkeit mit der Gammafunktion $\Gamma$ ist:

$A={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp \left({\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln \Gamma (x+1)\,\mathrm {d} x\right).$

Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)

$\ln A={\frac {1}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1).$

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de)
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43); Textarchiv – Internet Archive

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Glaisher-Kinkelin Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A087501 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von A)