Konvexer Kern

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In der Geometrie und Topologie spielt der konvexe Kern (engl. convex core, franz. âme convexe) eine wichtige Rolle vor allem in der Theorie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Definition

Es sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein CAT(0)-Raum. Der konvexe Kern ist eine minimale nichtleere konvexe Teilmenge, für die die Inklusion eine Homotopieäquivalenz ist.

Konvexe Hülle der Limesmenge

Für Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung kann man den konvexen Kern alternativ wie folgt definieren. Es sei die universelle Überlagerung, also für eine diskrete Gruppe von Isometrien. Sei die Limesmenge von in der Sphäre im Unendlichen und ihre konvexe Hülle. Dann ist

.

Die konvexe Hülle der Limesmenge ist also die universelle Überlagerung des konvexen Kerns.

Für jeden Punkt gibt es einen eindeutigen Punkt mit

.

Die so definierte Abbildung lässt sich zu einer stetigen Abbildung fortsetzen.

Rand des konvexen Kerns

Der Rand des konvexen Kerns ist im Allgemeinen keine glatte Mannigfaltigkeit. Im Falle hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten wird der Rand des konvexen Kerns als gefaltete Fläche (engl.: pleated surface) bezeichnet. Man betrachtet deshalb oft eine -Umgebung des konvexen Kernes für ein (beliebiges) . Der Rand der -Umgebung ist eine glatte Mannigfaltigkeit.

Die Inklusion der -Umgebung in ist ein Deformationsretrakt.

Im Fall hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten ist die -Umgebung des konvexen Kerns homöomorph zur Kleinschen Mannigfaltigkeit , wobei den Diskontinuitätsbereich für die Wirkung von auf der Sphäre im Unendlichen bezeichnet. Insbesondere ist in diesem Fall der Rand des konvexen Kerns homöomorph zu .

Konvex-kokompakte und geometrisch endliche Gruppen

Eine diskrete Gruppe von Isometrien eines CAT(0)-Raumes (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes ) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von kompakt ist. Sie heißt geometrisch endlich, wenn eine (also jede) -Umgebung des konvexen Kernes endliches Volumen hat.

Literatur

  • William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
  • Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
  • Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
  • Epstein, D. B. A.; Marden, A.: Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces. Fundamentals of hyperbolic geometry: selected expositions, 117–266, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
  • Bridgeman, Martin; Canary, Richard D.: The Thurston metric on hyperbolic domains and boundaries of convex hulls. Geom. Funct. Anal. 20 (2010), no. 6, 1317–1353. pdf