Kovarianzfunktion

Die Kovarianzfunktion ist in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, eine spezielle reellwertige Funktion, die einem stochastischen Prozess zugeordnet wird. Ihre Bedeutung erlangt die Kovarianzfunktion dadurch, dass sich eine bestimmte Klasse von stochastischen Prozessen eindeutig durch ihre Kovarianzfunktion charakterisieren lässt. Kovarianzfunktionen finden sich häufig im Umfeld des Wiener-Prozesses und verwandter Konstruktionen.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess $X=(X_{t})_{t\in I}$ mit Indexmenge $I$. Dann heißt die Funktion

$\Gamma \colon I\times I\to \mathbb {R}$

definiert durch

$\Gamma (s,t)=\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t}):=\mathbb {E} \left[(X_{s}-\mathbb {E} (X_{s}))\cdot (X_{t}-\mathbb {E} (X_{t}))\right]$

die Kovarianzfunktion des stochastischen Prozesses $X$. Dabei bezeichnet $\operatorname {Cov} (X,Y)$ die Kovarianz der Zufallsvariablen $X$ und $Y$. $\mathbb {E}$ ist der Erwartungswert.

Beispiel

Gegeben sei ein Wiener-Prozess $X=(W_{t})_{t\geq 0}$. Ist o.B.d.A. $0\leq s<t$, so ist

$\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t})=\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t}-X_{s}+X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t}-X_{s})+\operatorname {Cov} (X_{s},X_{s})$

Da der Wiener Prozess aber ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, gilt $\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t}-X_{s})=0$ und somit

$\operatorname {Cov} (X_{s},X_{t})=\operatorname {Cov} (X_{s},X_{s})=\operatorname {Var} (X_{s})=s$

da der Prozess normalverteilte Zuwächse hat. Somit gilt für den Wiener-Prozess

$\Gamma (s,t)=\min(s,t)$.

Eigenschaften

Jeder Gauß-Prozess $X=(X_{t})_{t\in I}$, der zentriert ist in dem Sinne, dass $E(X_{t})=0$ für alle $t\in I$ gilt, wird durch seine Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Denn sind $t_{0},t_{1},\dots ,t_{N}\in I$ gegeben, so lässt sich die Verteilung des Prozesses zu diesen Zeitpunkten wie folgt bestimmen: Da der Prozess zu diesen Zeitpunkten mehrdimensional normalverteilt ist und eine mehrdimensionale Normalverteilung eindeutig durch ihren Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix bestimmt ist, genügt es aufgrund der Zentriertheit die Kovarianzmatrix zu bestimmen. Diese ist aber durch die Kovarianzfunktion gegeben: Der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ist genau $\Gamma (t_{i},t_{j})$.

Dieses Vorgehen ist für beliebige $t_{0},t_{1},\dots ,t_{N}\in I$ und alle $N\in \mathbb {N}$ durchführbar. Die so gewonnenen Verteilungen bilden dann eine projektive Familie und bestimmen somit nach dem Erweiterungssatz von Kolmogorov die Verteilung des Prozesses eindeutig.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.