Kraus-Darstellung

Die Kraus-Darstellung, benannt nach dem Physiker Karl Kraus, ist eine Darstellungsform von Quantenkanälen, die die Dynamik eines Quantensystems beschreiben. Durch den Satz von Kraus, der besagt, dass eine Abbildung genau dann komplett positiv und spurerhaltend ist, wenn sie sich in Kraus-Darstellung schreiben lässt, ist die Kraus-Darstellung von besonderer Bedeutung in der Theorie offener Quantensysteme und der Quanteninformatik.

Definition

Seien ${\mathcal {H}},{\mathcal {G}}$ Hilberträume und sei $\Lambda \colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {G}}$ eine Abbildung zwischen diesen Hilberträumen. Die Kraus-Darstellung der Abbildung $\Lambda$ ist dann gegeben durch

$\Lambda [\rho ]=\sum _{\alpha }K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger },$

wobei $\{K_{\alpha }\}$ die Kraus-Operatoren sind. Ist $\Lambda$ spurerhaltend, erfüllen die Kraus-Operatoren die Vollständigkeitsrelation: $\textstyle \sum _{\alpha }K_{\alpha }^{\dagger }K_{\alpha }=1$. Dabei ist $1$ der Identitätsoperator.

Motivation

Im Allgemeinen wird ein quantenmechanischer Zustand über den Dichteoperator $\rho$ dargestellt. Dieser hat folgende Eigenschaften:

• Hermitesch: $\rho ^{\dagger }=\rho$
• Normiert: ${\rm {{Spur}\{\rho \}=1}}$
• Positiv-semidefinit: $\rho \geq 0$, bzw. $\langle \psi \left|\rho \right|\psi \rangle \geq 0\quad \forall \left|\psi \right\rangle \in {\mathcal {H}}$

Überführt eine Abbildung $\Lambda \colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {G}}$ einen Dichteoperator $\rho \in {\mathcal {H}}$ in einen anderen Dichteoperator $\Lambda [\rho ]\in {\mathcal {G}}$, so muss für $\Lambda$ Folgendes gelten:

• Erhaltung der Hermitizität: $\rho ^{\dagger }=\rho \Rightarrow \Lambda [\rho ]^{\dagger }=\Lambda [\rho ],$
• Spurerhaltung: ${\rm {{Spur}\{\Lambda [\rho ]\}={\rm {{Spur}\{\rho \},}}}}$
• Positivitätserhaltung: $\rho \geq 0\Rightarrow \Lambda [\rho ]\geq 0.$

Spurerhaltung

Jede Abbildung in Kraus-Darstellung ist spurerhaltend, da

${\rm {{Spur}\{\Lambda [\rho ]\}=\sum _{\alpha }{\rm {{Spur}\{K_{\alpha }\rho .K_{\alpha }^{\dagger }\}=\sum _{\alpha }{\rm {{Spur}\{K_{\alpha }^{\dagger }K_{\alpha }\rho \}={\rm {{Spur}\{\rho \}.}}}}}}}}$

Hier wurde ausgenutzt, dass die Spur linear und invariant unter zyklischem Vertauschen der Elemente ist.

Positivitätserhaltung

Die Terme der Form $K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }$ sind positivitätserhaltend, da ein neuer Zustand $|\phi \rangle =K_{\alpha }^{\dagger }|\psi \rangle$ definiert werden kann und dann folgendes gilt:

${\big \langle }\psi {\big |}K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }{\big |}\psi {\big \rangle }=\left\langle \phi \right|\rho \left|\phi \right\rangle \geq 0\quad \forall \left|\psi \right\rangle \in {\mathcal {H}}.$

Damit ist $\textstyle \Lambda [\rho ]=\sum _{\alpha }K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }$ als Summe positiv-semidefiniter Terme ebenfalls positiv-semidefinit.

Vollständige Positivität

Positivitätserhaltung genügt jedoch nicht um $\textstyle \Lambda$ zu einer physikalisch sinnvollen Abbildung zu machen. Die Positivität des Zustands muss auch erhalten bleiben, wenn das System, auf das $\textstyle \Lambda$ wirkt mit einem anderen System, das keiner Dynamik unterliegt verschränkt ist. Das heißt, es muss gelten dass $\textstyle \Lambda \otimes \mathrm {Id} _{2}[\rho _{12}]\geq 0$ für alle $\rho \geq 0$. Diese Eigenschaft wird als vollständige Positivität bezeichnet. Nicht alle positivitätserhaltenden Abbildungen sind vollständig positiv (ein Gegenbeispiel ist Transposition) und nur vollständig positive Abbildungen haben eine Kraus-Darstellung.