Kreisbogen
Legt man auf einem Kreis zwei beliebige Punkte fest und verbindet diese durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises, so stellen die beiden Teile der Kreisfläche, die durch diese Strecken voneinander getrennt werden, Kreisausschnitte (auch Kreissektor genannt) dar. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.
Berechnung
Die Länge eines Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} im Gradmaß und dem Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} b & = 2\pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 360^\circ} \\ &=\pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 180^\circ}\\ \end{align} } .
Der Flächeninhalt des entsprechenden Kreisausschnittes ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 360^\circ}} .
Gibt man den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß an, so lauten die Formeln
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = r \cdot \alpha \qquad A = \frac{r^2 \cdot \alpha}{2} } .
Durch Einsetzen des Winkels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 360^\circ} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 2\pi} ergeben sich die bekannten Formeln für Umfang und Flächeninhalt des Vollkreises.
Die Kreissehne der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} bekommt man über folgenden Zusammenhang aus dem Kreisbogen und dem Radius oder direkt aus dem Mittelpunktswinkel:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{b}{2 \cdot r}\right) = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
Siehe auch
- Kreissegment ist die Teilfläche eines Kreises, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.
- Kugelkappe ist die Teilfläche einer Kugeloberfläche, die durch einen Kleinkreis (Breitenkreis) begrenzt wird.
- Streichinstrument Die Phonoliszt-Violina wird mit einem ringförmigen Kreisbogen (= Streichbogen) bespielt.
