Kreismethode von Hardy-Littlewood

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Die Kreismethode von Hardy-Littlewood ist eine zentrale Technik aus der analytischen Zahlentheorie.

Sie ist nach Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood benannt. Sie wird manchmal auch als Kreismethode von Hardy-Littlewood-Ramanujan bezeichnet, da sie ihren Ursprung in der Zusammenarbeit zwischen Hardy und Ramanujan hatte.[1]

Kreismethode am waringschen Problem

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Die Singularitäten der Theta-Funktion. Deutlich erkennbar die dominantesten Singularitäten an der Stelle , danach kommen die Singularitäten an der Stelle '7 Uhr' und '11 Uhr'. Die erzeugende Funktion der Quadratsummen-Funktionen ist die Potenz der Jacobischen Theta-Funktion.

Wir betrachten das waringsche Problem, konkret möchten wir eine Zahl als Summe von verschiedenen Potenzen zum Exponenten darstellen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n=a_{1}^{k}+\cdots +a_{s}^{k}}

wobei . Die Lösungen dieses Problems bilden eine Menge von Nullstellen, deren Anzahl wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} bezeichnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=N(n,k,s):=\#\{(a_1,\dots,a_s):0 = n-(a_1^k+\cdots +a_s^k) \}} .

Wir definieren obige Gleichung als Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(\mathbf{a})=F(a_1,\cdots,a_s):= n-(a_1^k+\cdots +a_s^k)}

und führen folgende formale Potenzreihe ein

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z)=\sum\limits_{\textbf{a}\in A^k}z^{F(\mathbf{a})}} .

Die Anzahl der Nullstellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} ist genau der konstante Teil dieser Potenzreihe. Wir nehmen an, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z)} analytisch auf der Kreisscheibe mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z|<1} ist (mit möglicher Ausnahme bei ). Nun können wir die Cauchysche Integralformel anwenden und erhalten folgende Integralgleichung (für die Lösungen unseres ursprünglichen Problems)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle N={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C_{r}(0)}z^{-1}f(z)\mathrm {d} z}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{r}(0)} der Kreis um den Mittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} mit Radius ist. Nun versucht man den Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=1-\frac{1}{n}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\to\infty} zu analysieren, das Problem ist nur, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z)} auf dem Einheitskreis Singularitäten hat.

Hier kommen die Einheitswurzeln ins Spiel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e(m/q):= \exp \left ( \frac{2 \pi i m}{q} \right ) }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} möglichst klein ist.

Wie sich herausstellt, sagt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} etwas über den Beitrag von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} in der Nähe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e(m/q)} aus. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} hat Höchstwerte in der Nähe wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} sehr klein ist.

Die Umgebungen um die Einheitswurzeln werden in zwei Klassen aufgeteilt, genannt major arcs (dt. große Kreisbögen) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}_1} und minor arcs (dt. kleine Kreisbögen) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_2} .

Für die Unterteilung wählt man eine entsprechende Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(n)} , die von der konkreten Problemstellung abhängt. Einheitswurzeln, deren Nenner Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q\leq g(n) } erfüllt, gehören zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}_1} und wird dann definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_2=C_{r}(0)\setminus\mathcal{M}_1} .

Man kann zeigen, dass der Anteil der minor arcs zum Integral sehr klein ist, deshalb der Name kleine Kreisbögen. Nun zerlegt man das Integral in ein Integral über und ein Integral über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{m}_2} auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{C_{r}(0)} z^{-1}f(z)\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\mathcal{M}_1} z^{-1}f(z)\mathrm{d}z+\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{m_2} z^{-1}f(z)\mathrm{d}z} .

Man versucht das Integral über den major arcs Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}_1} asymptotisch auszuwerten und die minor arcs werden nach oben beschränkt.

Geschichte

Die Methode entstand ungefähr 1916/17 in der Zusammenarbeit von Hardy und Ramanujan im Zusammenhang mit asymptotischer Analyse von Partitionsfunktionen[2] und wurde bald darauf von Hardy und Littlewood auf das Waringsche Problem und andere Probleme der additiven Zahlentheorie angewandt (insbesondere in ihrer Aufsatzreihe On some Problems of Partitio Numerorum).[3][4][5][6] Die Methode wurde in den 1930er Jahren von Winogradow weiterentwickelt, in dem er sie von der Sprache der komplexen Analysis in die Sprache der Fourierreihen überführte,[7] wobei er seine Methode trigonomerischer Summen (Exponentialsummen) in der analytischen Zahlentheorie zunächst auf die Auswertung endlicher Fourierreihen zurückführte und dann mit der Kreismethode die Integrale für ihre Koeffizienten auswertete. Winogradows Methode vereinfachte und vereinheitlichte die Kreismethode für eine große Zahl von Anwendungen insbesondere bei einer ganzen Reihe von asymptotischen Problemen der als besonders schwierig geltenden additiven Zahlentheorie mit damals spektakulären Durchbrüchen.

Weitere Anwendungen waren die von Hans Rademacher auf Modulformen und die Partitionsfunktion,[8][9] wobei er für den Integrationsweg eine Variablentransformation von in der komplexen Ebene (wo der Integrationsweg ein Kreis ist) zu mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle z=e^{2\pi i\tau }} vornahm und außerdem Ford-Kreise für den Integrationsweg benutzte. Sie fand auch Anwendung bei diophantischen Gleichungen in vielen Variablen, z. B. im Satz von Bryan Birch über die Darstellung natürlicher Zahlen durch Systeme homogener Polynome ungeraden Grades mit Koeffizienten in algebraischen Zahlkörpern.[10]

Sie lieferte auch später noch in Verbindung mit neuen Ideen spektakuläre Resultate in der analytischen und additiven Zahlentheorie, so nutzte Harald Helfgott die Methode in seinem Beweis der schwachen Goldbachschen Vermutung.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ R.C. Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, UK 1982, ISBN 0-521-57347-5, S. 3.
  2. ↑ Hardy, Ramanujan: Asymptotic formulae in combinatorial analysis, Proc. London Math. Soc., Band 17, 1918, S. 75–115
  3. ↑ Hardy, Littlewood: A new solution of Waring's Problem, Quarterly Journal of Mathematics, Band 48, 1919, S. 272–293
  4. ↑ Hardy, Littlewood: Some problems of „Partitio Numerorum“. A new solution of Waring’s problem, Göttinger Nachrichten, 1920, S. ,33−54
  5. ↑ Hardy, Littlewood: Some Problems of „Partitio Numerorum III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes“, Acta Mathematica, Band 44, 1923, S. 1–70
  6. ↑ Hardy, Littlewood, Some problems of „Partitio Numerorum“ IV. Further researches in Waring’s problem, Mathematische Zeitschrift, Band 23, 1925, S. 1–37
  7. ↑ R.C. Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, UK 1982, ISBN 0-521-57347-5.
  8. ↑ Rademacher, On the expansion of the partition function in a series, Annals of Mathematics, Second Series, Band 44, 1943, S. 416–422
  9. ↑ Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer 1990, Kapitel 5. Nach Apostol war das sogar die Krönung der Kreismethode.
  10. ↑ B. J. Birch, Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables, Mathematika, Band 4, 1957, S. 102–105
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