Leibniz-Reihe
Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} , die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte.[1] Sie lautet:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dotsb = \frac{\pi}{4}} .
Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt, Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu. Die Reihe wird daher manchmal auch zusätzlich nach Gregory benannt.
Die Konvergenz dieser unendlichen Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch.
Konvergenzgeschwindigkeit
Das Restglied der Summe nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Summanden beträgt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1} - \frac\pi4 = -\sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}} .
Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |R_n| \leq \frac{1}{2n+1}} .
Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |R_n| < \frac{1}{4n}} .
Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Summanden kann man also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} -ten Nachkommastelle erhalten:
- .
Die Anzahl benötigter Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(s) = \frac12 \cdot 10^{\textstyle s}} .
Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz’ Formel ergeben
Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sich eine Näherung der Kreiszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} berechnen, denn es ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi = 4 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \lim \limits_{n\to \infty} \left(4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)} .
Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.
Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} nicht geeignet.
n
(Anzahl der
berechneten
Brüche)Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}}
(Ergebnis)Verhältnis
zur
Kreiszahl
(ppm)Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 \cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}}
(Ergebnis)Verhältnis
zur
Kreiszahl
(ppm)Mittelwert Verhältnis
zur
Kreiszahl
(ppm)2 2,6666666666666665 -151173,6368432249 3,4666666666666668 +103474,2721038077 3,0666666666666664 -23849,6823697086 4 2,8952380952380952 -78417,0914297870 3,3396825396825394 +63053,9690963421 3,1174603174603175 -7681,5611667224 8 3,0170718170718169 -39636,2132995474 3,2523659347188758 +35260,2305084034 3,1347188758953464 -2187,9913955720 16 3,0791533941974261 -19875,0335505845 3,2003655154095472 +18707,9829565416 3,1397594548034866 -583,5252970215 32 3,1103502736986859 -9944,7583872491 3,1718887352371476 +9643,5423009843 3,1411195044679165 150,6080431325 64 3,1259686069732875 -4973,2885002301 3,1569763589112720 +4896,7854899649 3,1414724829422798 -38,2515051326 100 3,1315929035585528 -3183,0192943105 3,1514934010709905 +3151,5058038744 3,1415431523147719 -15,7567452180 1000 3,1405926538397928 -318,3098066064 3,1425916543395429 +317,9918149504 3,1415921540896679 -0,1589958280 10000 3,1414926535900429 -31,8309885389 3,1416926435905430 +31,8278057582 3,1415926485902927 -0,0015913904 100000 3,1415826535897935 -3,1830988617 3,1416026534897941 +3,1830670312 3,1415926535397936 -0,0000159154 1000000 3,1415916535897930 -0,3183098862 3,1415936535887932 +0,3183095679 3,1415926535892931 -0,0000001592 10000000 3,1415925535897928 -0,0318309887 3,1415927535897827 +0,0318309853 3,1415926535897878 -0,0000000017 100000000 3,1415926435897932 -0,0031830988 3,1415926635897931 +0,0031830988 3,1415926535897931 +0,0000000000 1000000000 3,1415926525897930 -0,0003183099 3,1415926545897932 +0,0003183099 3,1415926535897931 +0,0000000000
Konvergenz-Beschleunigung
Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergente Reihe (Nicolas Fatio, 1705)
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).}
Langsame Konvergenz
Letztlich ist die Leibniz-Reihe (auch nach Umformungen) für die Berechnung der Kreiszahl nur bedingt geeignet. Schneller konvergierende andere Reihen und Verfahren sind im Artikel Kreiszahl aufgeführt.
Siehe auch
Literatur
- V. I. Bityutskov: Leibniz series. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
Einzelnachweise
- ↑ G. W. Leibniz, De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa, in: Acta Eruditorum, Februar 1682, 41–46; Gerhardt, Leibnizens mathematische Schriften V, Halle 1958, 118-122.
