Diskussion:Leibniz-Reihe

Sinn dieses Artikels?

Der Inhalt steht, abgesehen von der Zahlentabelle, bereits in Pi (Kreiszahl), inklusive der mMn zweifelhaften Aussage, Leibniz habe die Konvergenz "bewiesen". Wozu also einen eigenen Artikel (außer als Redirect-Ziel für Leibniz-Reihe)?--Gunther 10:55, 30. Jun 2006 (CEST)

Gute Frage. Ich habe jedenfalls ein wenig umformuliert, damit zumindest das Stichwort Leibniz-Reihe vorkommt. Von mir aus könnte man auch diesen Artikel in Leibniz-Reihe umbennen und von "Kreiszahlberechnung nach Leibniz" darauf redirecten; nach dem Lemma "Kreiszahlberechnung nach Leibniz" wird meines Erachtens kaum jemand suchen. --NeoUrfahraner 11:11, 30. Jun 2006 (CEST)

Die Umbenennung ändert nichts daran, dass das alles schon woanders steht. Und ehrlich gesagt sehe ich auch wenig Potential für einen weiteren Ausbau, die Geschichte gibt wohl auch nicht viel her (beispielsweise im Vergleich mit en:Basel problem).--Gunther 11:19, 30. Jun 2006 (CEST)

Leibniz-Reihe

Ich greife die Diskussion nochmals auf, um als Erstautor diese Artikels Stellung zu nehmen. Derzeit ist der Artikel umgeleitet nach Kreiszahlberechnung nach Leibniz. Eigentlich ist der Artikel doch eher ein Spezialfall des allgemeineren und ausführlicheren Artikels Leibniz-Kriterium. Ein redirect auf Leibniz-Kriterium würde m.E. besser passen. - Bei dieser Gelegenheit reiche ich noch die Quellen nach, die ich damals (2003!) benutzt habe:

• (1)Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher 832*, Mannheim 1969, Seite 62.
• (2)Prof. Dr. Joseph Hofmann: Geschichte der Mathematik III, Sammlung Göschen Band 882, de Gruyter-Verlag, Berlin 1957, Seite 12, 54, 61

Im Martensen (1) kommt der Begriff "Leibniz-Reihe" allerdings NICHT vor. Allerdings wird er in (2) mehrfach gebraucht.

In (1) beweist Martensen das "Leibnitzsche Konvergenzkriterium" und bringt als Beispiel die Reihe für ln2 = 0,69314.

Auch dies spricht für einen redir auf Leibniz-Kriterium.

In (2) wird als Beispiel die Reihe für PI/4 angegeben.

-- tsor 17:45, 1. Jul 2006 (CEST)

Also die Leibnitzreihe ist doch speziell die Reihe, die pi/4 ergibt. Deshalb fände ich eigentlich die Kreiszahl angemessener. --Philipendula 17:47, 1. Jul 2006 (CEST)

Deine Folgerung, jede Reihe die die Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt, würde Leibniz-Reihe genannt, stimmt meiner Ansicht nach nicht. In aktuellen Analysis-Büchern taucht der Begriff Leibniz-Reihe nur für die Pi/4-Reihe auf, siehe auch Google. Die Reihe für ln 2 stammt meines Wissens auch von Leibniz, wobei da der Clou ja nicht ist, dass die Reihe konvergiert, sondern dass der Grenzwert die irrationale Zahl ln 2 ist. --P. Birken 17:56, 1. Jul 2006 (CEST)

@tsor: was mir aus Deiner Antwort noch nicht ganz klar wird: verwendet (2) den Begriff "Leibniz-Reihe" tatsächlich für alle alternierenden Reihen mit monoton gegen Null fallenden Gliedern oder nur für das spezielle Beispiel der Reihe für pi/4? --NeoUrfahraner 18:31, 1. Jul 2006 (CEST)

"Leibniz-Reihe" wird nur im Zusammenhang mit Pi/4 verwendet. -- tsor 19:12, 1. Jul 2006 (CEST)

Dann ist meiner Meinung nach das Redirect von "Leibniz-Reihe" auf Kreiszahlberechnung nach Leibniz korrekt, weil hier inzwischen das Lemma "Leibniz-Reihe" gleich im ersten Satz auftaucht. Einen Link auf Leibniz-Kriterium habe ich ja schon schon eingebaut, also ein gewisser Weiterverweis ist hergestellt. Im Artikel Leibniz-Kriterium passt das Lemma "Leibniz-Reihe" erst zu den Beispielen (wo es ja jetzt auftaucht), ein Redirect von "Leibniz-Reihe" auf Leibniz-Kriterium wäre also weniger klar. Wie schon weiter oben gesagt, würde ich es vorziehen, den Artikel Kreiszahlberechnung nach Leibniz auf "Leibniz-Reihe" umzubenennen, dann lässt sich ein etwas schönerer Einleitungssatz schreiben (z.B: "In der Mathematik bezeichnet man mit Leibniz-Reihe die folgende konvergente unendliche Reihe, mit der sich die Kreiszahl Pi berechnen lässt ... Diese Reihe ist ein Speziallfall der arctan-Reihe und ist nach Leibniz benannt, der sie allerdings unabhängig von der arctan Reihe wahrscheinlich 1673 bei geometrischen Betrachtungen entdeckte (Quelle: Knopp, §27)", und dann ein Redirect von Kreiszahlberechnung nach Leibniz auf "Leibniz-Reihe" einbauen; mit der derzeiten Version kann ich aber auch leben. --NeoUrfahraner 20:27, 1. Jul 2006 (CEST)

Ok, einverstanden. Die Meinung von Benutzer:Gunther würde mich noch interessieren. -- tsor 09:33, 2. Jul 2006 (CEST)

Unter Wikipedia:Redundanz/Altlasten#30. Juni (alles neu macht der ... Juli?) wird behauptet, man könne per Google viele Belege für die allgemeinere Verwendung finden; das konnte ich nicht bestätigen. Neos Vorschlag leuchtet mir ein, ich fand den Seitentitel hier auch schon etwas unelegant, denn gerade zur tatsächlichen Berechnung der Kreiszahl eignet sich die Reihe ja nicht besonders gut. Ansonsten sehe ich immer noch das im vorangehenden Abschnitt angesprochene Problem der fehlenden Abgrenzung zu Kreiszahl, in irgendwelchen sinnlosen Zahlenreihen kann sie mMn nicht bestehen. (Die Asymptotik ist bei derartigen alternierenden Reihen ja auch langweilig, und auch scheinbare Verbesserungen wie die hier vorgeschlagene ändern nichts an $O(1/n)$.)--Gunther 11:39, 2. Jul 2006 (CEST)

Also ich sehe die Existenzberechtigung dieses Artikels vor allem darin, dass diese spezielle Reihe aus welchem Grund auch immer zu einem eigenen Namen gekommen ist. Mit dem Titel "Leibniz-Reihe" würde das sowie die Abgrenzung zu Kreiszahl klarer. Mathematisch ist die Sache ansonsten weiter nicht interessant, dafür schafft der Artikel wenigstens halbwegs den Oma-Test. Vielleicht findet irgendwer noch etwas zur Geschichte heraus (Wie hat Leibniz das bewiesen? Gibt es zu den Indern noch was zu sagen?) Der derzeitige Einleitungssatz ("bestmöglichen Annäherung") ist jedenfalls irreführend; die Jahreszahl stimmt übrigens nicht mit den Angaben im Knopp überein. Die speziellen Paritalsummen sind auch nicht wirklich wesentlich, machen aber wenigstens der Oma klar, dass diese Annäherung wohl kaum "bestmöglich" ist. Bei geändertem Titel könnte man auch ergänzen, dass der Begriff Lebiniz-Reihe gelegentlich/vereinzelt allgemeiner verwendet wird und dann auf Leibniz-Kriterium weiterverweisen. --NeoUrfahraner 21:38, 2. Jul 2006 (CEST)

Im Moment steht hier halt genau dasselbe wie in Kreiszahl, in weiten Teilen sogar wörtlich. Dort findet sich sogar noch die Arkustangensreihe (übrigens zusammen mit der verwirrenden Angabe, diese sei früher bekannt gewesen als die Leibniz-Reihe?).--Gunther 22:21, 2. Jul 2006 (CEST)

Nun, laut Knopp hat Leibniz die Reihe unabhängig von der arctan Reihe wahrscheinlich 1673 entdeckt (nicht 1682, wie derzeit ohne Quellenangabe gesagt wird); die arctan Reihe wurde laut Kreiszahl von James Gregory in den 1670ern entdeckt, was da also früher war, ist schwierig zu sagen. Und dann steht da noch, dass die sogenannte Leibniz-Reihe indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt war, das wäre dann jedenfalls vor der arctan Reihe. Das schweift zwar ein wenig von der Frage nach dem passenden Titel ab, zeigt aber, dass es zumindest vom Gesichtspunkt der Geschichte der Mathematik mehr dazu zu sagen gäbe. --NeoUrfahraner 08:25, 3. Jul 2006 (CEST)

James Gregory hat viel entdeckt, aber nur wenig tatsaechlich publiziert. Die beiden werden von ihren jeweiligen Entdeckungen nichts gewusst haben. Ansonsten stimme ich Neo zu, dass genug Stoff fuer einen eigenen Artikel da ist, allerdings auch Gunther. Die Tabelle hat mich schon immer gestoert, die sollte durch eine Beschreibung der Asymptotik ersetzt werden, unterlegt mit Beispielen. --P. Birken 09:57, 3. Jul 2006 (CEST)

@tsor: Gibt (2) eine Jahreszahl der Entdeckung an? --NeoUrfahraner 08:38, 3. Jul 2006 (CEST)

Es ist vom Zeitraum um 1704 die Rede. Da heisst es (Seite 12): Wenige Wochen später teilt Joh. Chr. Fatio den Baslern gemeint sind die Bernoullis die konvergenzverstärkende Darstellung der Leibniz-Reihe für Pi/4 aus 1/2 + 1/(2*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + 4/(5*7*9) + (4*5)/(5*7*9*11) + ... mit, die (in Briefen an Leibniz von Herman und Jal.Bernoulli) bewiesen und in Entsprechung zur vorigen Transformation gebracht wird. Die nämliche Transforation wird von Stirling (PT 30, 1719) erfolgreich verwendet. PT ist die Zeitschrift "Philisophical Transactions". - Seite 61: 1777 entdeckt Euler die Gleichwertigkeit der Brounckerschen Kettenbruchentwicklung für 4:pi mit der Leibniz-Reihe (NAP 2, 1784). NAP = Zeitschrift "Nova acta Ac.sc. Petropolitanae". -- tsor 18:43, 3. Jul 2006 (CEST)

Ich habe noch mal im Edwards, The Historical Development of the Calculus, geguckt. Dort wird erwaehnt, dass Leibniz die Reihe in seinem Briefwechsel mit Newton von 1676 erwaehnt. Der Beweis erfolgt mit seinem Transmutationssatz, einem Vorlaeufer des Hauptsatzes der Analysis, den er 1673/1674 entwickelte. 1682 koennte die Zahl der tatsaechlichen Veroeffentlichung sein, was allerdings auch seltsam waere, da er seine Infinitesimalrechnung erst 1684 veroeffentlichte. --P. Birken 15:52, 26. Sep 2006 (CEST)

Unbrauchbarkeit der Leibnizreihe zur Berechnung von Pi

Die Behauptung, dass die Leibnizreihe zur Berechnung von Pi ungeeignet sei, wird immer wieder ohne Beweis aufgestellt. Sie findet sich schon in einem Werk von Prof. Friedhelm Erwe, "Differential- und Integralrechnung", BI-Taschenbuch, bishin zu einer relativ neuen Ausgabe der Formelsammlung von Bronstein/Semendjajev. Anscheinend ist diese Behauptung evident. Tatsächlich ergeben die Partialsummen der Leibnizreihe eine alternierende Funktion. Wenn Partialsumme(i) > Partialsumme(i+1) ist und M der Mittelungsoperator ist, mit M(i) = (Partialsumme(i)+Partialsumme(i+1))/2 , dann erhält man durch wiederholte Anwendung von M sehr schnell eine grosse Anzahl von Dezimalstellen.(nicht signierter Beitrag von 129.69.43.231 (Diskussion) 15:19, 26. Sep 2006)

Was heißt "sehr schnell"? Schneller als O(1/n)? --NeoUrfahraner 15:31, 26. Sep 2006 (CEST)

Mit "sehr schnell" meinte ich "mit geringem Aufwand". So kann man mit 201 Gliedern der Leibnizreihe 60 Dezimalen bekommen. Wenn man die Folge der Partialsummen berechnet hat, sind für den Mittelungsoperator noch ungefähr n*n Additionen erforderlich. Die Division mit 2 habe ich nicht mitgerechnet. Sie ist nur ein Shift in der Binärdarstellung.

Wie man sehr schnell sieht, steigt der Aufwand, um die naechste Stelle von Pi zu bekommen, nichtlinear mit der Stellenzahl an. Damit ist das ganze automatisch schlechter als die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, die pro Stelle einen fast konstanten Aufwand braucht und ja die vorherigen Stellen nicht berechnen muss. Schon die Arctangens-Reihe ist uebrigens schneller und sowieso die Formel von Ramanujan, aus der sich Algorithmen bauen lassen, die von dritter Ordnung gegen Pi konvergieren. --P. Birken 15:07, 27. Sep 2006 (CEST)

Das ist selbstverständlich richtig. Ich möchte nur ausdrücken, dass die Leibnizreihe mit einer kleinen Modifikatio sehr wohl zur Berechnung von Pi brauchbar ist.

Im Artikel steht ja auch nicht, dass die "Leibnizreihe zur Berechnung von Pi ungeeignet sei", sondern nur, dass sie "zur effizienten Berechnung von Pi nicht geeignet ist." Von mir aus kann man statt einer Negation positiv formulieren, dass es effizientere Verfahren gibt, z.B. die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel. --NeoUrfahraner 16:47, 27. Sep 2006 (CEST)

Warum die Leibnizreihe dem Wert von π/4 entspricht

Scheinbar erfreut sich die Leibnizreihe in manchen Schulen großer Beliebtheit, denn mein Sohn fragte mich gestern, warum die Leibnizreihe dem Wert von π/4 entspricht. Vielleicht kann man das folgende Argument für den Wissbegierigen noch in den Text einbauen:

1. Verstehe, dass Taylorreihe einer unendlich oft differenzierbaren Funktion f:R->R an einem Punkt x in der Nähe des Entwicklungspunktes a den Wert der Funktion f(x) selbst darstellt.
2. Betrachte die Tangens-Funktion tan:I->R und ihre Umkehrfunktion, den Arcustangens arctan:R->I mit I=]-π/2,π/2[. Verstehe die Funktions-Werte tan(π/4)=1 und arctan(1)=π/4 sowie
3. Verstehe die Ableitungen des Arcustangens.

Die Leibnizreihe entspricht der Taylorreihe des Arcustangens um den Entwicklungspunkt a=0 für den Wert x=1 und nimmt daher den Wert π/4 an. -- Hjsalchow 21:04, 6. Okt. 2010 (CEST)

Für mich als Laien wäre es schön, wenn irgendein Genie eine grafische Darstellung in diesem Artikel einbauen könnte, die zeigt, wie und warum sich diese Reihe π annähert. Also z. Bsp. einen Viertelkreis mit Radius 1, dann müßte sich diese Reihe ja der Fläche des Viertelkreises annähern?

codebeispiel

hallo. danke an Benutzer:79.220.55.126, aber ich habe zunächst diesen beitrag revertiert. allenfalls wäre wohl ein beispiel einer implementierung in Pseudocode angebracht. sorry, beste grüße, ca$e 22:35, 14. Mär. 2011 (CET)

Analytischer Beweis

Ich finde, dass jeder Artikel, so auch einer mit dem Namen „Leibniz-Reihe“, sich voll und ganz auf Erkenntnisse von anderen Artikeln, so auch einen mit dem Namen „Arkustangens“, stützen darf. Und dass hier beispielsweise kein erneuter Beweis der Arkustangens-Reihe erbracht werden muss. Ein solcher würde, wenn überhaupt, in jenen Artikel gehören.
Ich würde auch keinen Gewinn für die Leibniz-Reihe sehen, wenn ein solcher Beweis hier wiederholt würde.
Für einen Leser, der partout über „Leibniz-Reihe“ in das Thema eingestiegen ist, wäre aber vielleicht ein Hinweis angebracht, dass in anderen Artikeln wesentlich schneller konvergierende Reihen für die Kreiszahl erwähnt werden. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:20, 12. Apr. 2018 (CEST)

Was kommt bei leicht abgewandelter Reihe raus ?

Hallo, bin leider mathematischer Laie.

Was kommt raus bei:

a) 1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 etc. und

b) 1 - 1/2 + 1/4 - 1/6 etc.

Da kommen auch irgendwelche irrationalen Zahlen raus, aber kann man die irgendwie näher beschreiben ?

Du hast Recht, man kann. Wenn ich Deine zwei etc. richtig deute, sind das:

a) Die leicht abgewandelte Leibniz-Reihe:

$a=2-{\Bigl (}1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb {\Bigr )}=2-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=2-{\frac {\pi }{4}}$.

b) Der leicht abgewandelte natürliche Logarithmus#Potenzreihe von 2:

$b=1-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-{\frac {1^{2}}{2}}+{\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {1^{4}}{4}}\pm \dotsb {\Bigr )}/2=1-{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k+1}}=1-\ln(1+1)/2$

--Nomen4Omen (Diskussion) 21:04, 21. Okt. 2018 (CEST)

Spitze, Danke! Mathematik ist zwar eine exakte Wissenschaft, aber diese Leibnitz-Reihe hat für mich auch was schönes und geheimisvolles an sich, wie ein guter Roman oder ein Kunstwerk.