Kritischer Wert (Statistik)
Ein kritischer Wert ist in der Testtheorie derjenige Schwellenwert, der den Ablehnbereich (synonym: kritischer Bereich) vom Nicht-Ablehnungsbereich trennt. Weitere Details sind im Artikel Statistischer Test benannt.
Beispiel: einseitiger t-Test
Bei einem einseitigen Einstichproben-t-Test mit dem Ablehnbereich
ist der kritische Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{1-\alpha;n-1}} das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1- \alpha)} -Quantil der t-Verteilung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-1} Freiheitsgraden. Der kritische Wert ist der Berührungspunkt zwischen dem Ablehnbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t_{1-\alpha;n-1},\infty)} und dem Annahmebereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty,t_{1-\alpha;n-1}]} . Liegt die Prüfgröße t, das ist eine Realisierung einer Teststatistik T, im Ablehnbereich, ist t also größer als der kritische Wert, so wird die Nullhypothese dieses Tests abgelehnt, anderenfalls nicht abgelehnt. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht dies.
Bei einer Testdurchführung, die auf dem p-Wert basiert, ist der p-Wert genau dann kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} , wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, das bedeutet hier, dass t größer als der kritische Wert ist.
Beispiel: zweiseitiger t-Test
Bei einem zweiseitigen Einstichproben-t-Test setzt sich der Ablehnbereich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A := \left(-\infty, -t_{1-\alpha/2;n-1}\right) \cup \left(t_{1- \alpha/2;n-1},\infty\right)}
aus zwei Teilintervallen zusammen. Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{1-\alpha/2;n-1}} das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1-\alpha/2)} -Quantil der t-Verteilung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-1} Freiheitsgraden. Es gibt in diesem Fall die zwei kritischen Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1 = -t_{1-\alpha/2;n-1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1 = t_{1-\alpha/2;n-1}} , die den Ablehnbereich vom Annahmebereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [k_1,k_2]} trennen. Die Nullhypothese dieses Tests wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, wenn also entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t < k_1} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t > k_2} gilt.
In der zweiten Abbildung ist, zusammengesetzt aus zwei blauen Teilflächen, die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, d. h. die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Richtigkeit der Nullhypothese, für den Fall einer zweiseitigen Alternativhypothese dargestellt. Die rot schraffierte Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem Ablehnbereich verdeutlicht eine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art und damit einen Wert der Trennschärfe (Power) des Tests. Ein zweiter, in diesem Fall sehr kleiner, Teil der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art wird durch die Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem linken Teil des Ablehnbereichs beigetragen, ist aber in dieser Graphik nicht sichtbar. Häufig, wie auch in den beiden angegebenen Beispielen von Ablehnbereichen, kann im Fall einer einfachen Nullhypothese der Ablehnbereich so gewählt werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art und das vorgegebene Signifikanzvniveau übereinstimmen.
