L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie eine Verlustfunktion $L(\cdot ;\cdot )$. Es sei

$R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}$

das Risiko des Punktschätzers $S$ an der Stelle $\vartheta$, gemessen bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$

Dann heißt ein Schätzer $S$ L-unverfälscht, wenn für alle $\vartheta _{0}\in \Theta$ gilt:

$R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)$   für alle   $\vartheta \in \Theta$.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit $P_{\vartheta _{0}}$, näher an dem Wert $g(\vartheta _{0})$ als an jedem weiteren Wert $g(\vartheta )$.

Beispiele

Gauß-Verlust

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

$L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}$,

so ist $S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ ein erwartungstreuer Schätzer für $g$ ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

$L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|$,

so ist $S$ genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle $\vartheta \in \Theta$

$P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}$   und   $P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}$.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.