L-Unverfälschtheit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell sowie eine Verlustfunktion . Es sei

das Risiko des Punktschätzers an der Stelle , gemessen bezüglich

Dann heißt ein Schätzer L-unverfälscht, wenn für alle gilt:

  für alle   .

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit , näher an dem Wert als an jedem weiteren Wert .

Beispiele

Gauß-Verlust

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

,

so ist (siehe Lp-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn ein erwartungstreuer Schätzer für ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

,

so ist genau dann L-unverfälscht, wenn Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle

  und   .

Literatur

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.