Lagebeziehung

Lagebeziehung ist ein Begriff aus der Schulmathematik, der die Beziehung zwischen Paaren der geometrischen Objekte Punkt, Gerade und Ebene anspricht. Eine typische Aufgabe aus diesem Bereich ist: Welche Beziehung besteht zwischen einer konkret vorgegebenen Gerade und einer Ebene (im 3-dimensionalen Raum) ? Mögliche Antworten sind: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt oder die Gerade meidet die Ebene oder die Gerade ist in der Ebene enthalten. Der Weg zur Antwort hängt allerdings sehr von der Beschreibung der beteiligten Geraden bzw. Ebenen ab (s. unten). Bei der Lösung der einzelnen Lageprobleme müssen immer wieder lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Die linearen Gleichungssysteme entstehen meistens durch Gleichsetzen von Linearkombinationen von Vektoren („1.Komponente links = 1. Komponente rechts, ...“).

Lagebeziehungen in der (reellen) Ebene

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Lagebeziehung Gerade-Gerade: schneiden, parallel, identisch, windschief

In der Ebene wird

• ein Punkt durch seine Koordinaten beschrieben: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,y_0) } ,
• eine Gerade durch eine Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=mx+b} oder durch eine Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +t\vec r} beschrieben (s. Geradengleichung).

Punkt und Gerade

• Ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,y_0) } liegt auf der Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=mx+b} , falls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0=mx_0+b}

gilt. Im andern Fall liegt der Punkt nicht auf der Gerade.

• Ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,y_0) } liegt auf der Gerade ${\binom {x}{y}}={\binom {p_{1}}{p_{2}}}+t{\binom {r_{1}}{r_{2}}}$, falls das überbestimmte lineare Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=p_1+tr_1} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0=p_2+tr_2}

für $t$ eine Lösung besitzt. Im andern Fall liegt der Punkt nicht auf der Gerade.

Gerade und Gerade

• Zwei Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=m_1x + d_1, \ y=m_2x+d_2} haben einen Schnittpunkt (Lösung des linearen Gleichungssystems), falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1\ne m_2} ist.

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1= m_2, \ d_1=d_2} gilt, sind die Geraden identisch und

falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1= m_2, \ d_1\ne d_2} gilt, sind die Geraden verschieden und parallel.

• Zwei Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=mx + d, \ \binom{x}{y}=\binom{p_1}{p_2}+t\binom{r_1}{r_2}} haben einen Schnittpunkt, falls die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2+tr_2=m(p_1+tr_1)+d }

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} genau eine Lösung $t_{0}$ besitzt. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_1+t_0r_1,p_2+t_0r_2)} .

Falls die Gleichung keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel.

Falls die Gleichung für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \in \R} erfüllt ist, sind die Geraden identisch.

• Zwei Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \binom{x}{y}=\binom{p_1}{p_2}+t\binom{a_1}{a_2},\ \binom{x}{y}=\binom{q_1}{q_2}+t\binom{b_1}{b_2}} haben einen Schnittpunkt, falls das lineare Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1+ta_1=q_1+sb_1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2+ta_2=q_2+sb_2 }

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s,t} genau eine Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_0,t_0} besitzt. Der Schnittpunkt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_1+t_0a_1,p_2+t_0a_2)} .

Falls das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel.

Falls das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, sind die beiden Geraden identisch.

Lagebeziehungen im Raum

Im 3-dimensionalen Raum wird

• ein Punkt durch seine Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0) } ,
• eine Gerade durch eine Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +t\vec r} und
• eine Ebene durch eine Koordinatengleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax+by+cz=d} oder durch eine Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +u\vec e+v\vec f}

beschrieben (s. Ebenengleichung).

Für die folgenden Untersuchungen der Lagebeziehungen mit Ebenen, lohnt es sich zu einer parametrisiert gegebenen Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +u\vec e+v\vec f} mit Hilfe des Vektorprodukts zunächst eine Koordinatengleichung aufzustellen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec e\times \vec f)\cdot (\vec x-\vec p)=0 } .

Punkt und Gerade/Ebene

Ob ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0)} auf einer Gerade oder einer durch eine Koordinatengleichung gegebenen Ebene liegt, prüft man wie die ebenen Fälle Punkt - Gerade nach. Falls die Ebene durch eine Parameterdarstellung gegeben ist, wird zuerst eine Koordinatengleichung dazu aufgestellt (s. o.).

Zwei Geraden

• Zwei Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +s\vec a, \ \vec x =\vec q +t\vec b} haben einen Schnittpunkt, wenn das überbestimmte lineare Gleichungssystem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p +s\vec a=\vec q +t\vec b}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s,t} genau eine Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_0,t_0} besitzt. Der Schnittpunkt ist dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p +s_0\vec a } .

Falls keine Lösung existiert, sind die beiden Geraden verschieden und parallel (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a,\vec b} sind linear abhängig) oder windschief.

Falls unendlich viele Lösungen existieren, sind die Geraden identisch.

Die Parallelität der Geraden lässt sich daran erkennen, dass die beiden Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a,\vec b} Vielfache voneinander sind.

Windschief erkennt man daran, dass die Determinante $\det({\vec {p}}-{\vec {q}},{\vec {a}},{\vec {b}})\neq 0$ ist.

Lagebeziehung Gerade-Ebene: schneiden, parallel, enthalten

Lagebeziehung Ebene-Ebene: schneiden, parallel, identisch

Gerade und Ebene

Falls die Ebene parametrisiert gegeben ist, bestimmt man zunächst eine Koordinatengleichung.

• Eine Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x =\vec p +t\vec r} hat mit der Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax+by+cz=d} einen Schnittpunkt, falls die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a(p_1+tr_1)+b(p_2+tr_2)+c(p_3+tr_3)=d}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} genau eine Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0} besitzt. Der Schnittpunkt ist dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p +t_0\vec r} .

Falls die Gleichung keine bzw. unendlich viele Lösung(en) besitzt, ist die Gerade zur Ebene parallel. (Diesen Fall kann man daran erkennen, dass der Richtungsvektor der Gerade zum Normalenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b,c)^T} der Ebene senkrecht steht, d. h. ihr Skalarprodukt ist 0.)

Zwei Ebenen

• Zwei Ebenen $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}$ besitzen genau eine gemeinsame Gerade (Schnittgerade), falls die beiden Normalenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_1,b_1,c_1),\ (a_2,b_2,c_2)} keine Vielfache voneinander (d. h. linear unabhängig) sind. Die Schnittgerade ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems.

Falls die Normalenvektoren linear abhängig sind, sind die Ebenen parallel und zwar identisch, falls die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind.

• Zwei Ebenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax+by+cz=d_, \ \vec x =\vec p +u\vec e+v\vec f } besitzen genau eine gemeinsame Gerade (Schnittgerade), falls die lineare Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a(p_1+ue_1+vf_1)+b(p_2+ue_2+vf_2)+c(p_3+ue_3+vf_3)=d}

in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,v} nach $u$ oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} auflösbar ist. Ist die Gleichung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} auflösbar und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u=u(v)} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} frei wählbar und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x=\vec p +u(v)\vec e+v\vec f } eine Parameterdarstellung der Schnittgerade.

Ist die Gleichung weder nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} noch nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} auflösbar, sind beide Parameter nicht in der Gleichung enthalten. In diesem Fall sind die Ebenen parallel und zwar verschieden, wenn die Gleichung einen Widerspruch enthält. (Diesen Fall kann man daran erkennen, dass der Normalenvektor $(a,b,c)^{T}$ der ersten Ebene zu beiden Richtungsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec e, \vec f} der zweiten Ebene senkrecht steht, d. h. die entsprechenden Skalarprodukte sind 0.)

• Falls beide Ebenen parametrisiert gegeben sind, berechnet man zu einer der beiden Ebenen eine Koordinatengleichung und wendet das vorstehende Verfahren an.

Verallgemeinerungen

1. Da bei den Lageuntersuchungen nur multipliziert und addiert wird, lassen sich die obigen Überlegungen auch auf Ebenen/Räume über beliebigen Zahlkörpern (rationale Zahlen, komplexe Zahlen,...) übertragen.
2. In manchen Büchern werden zu den Objekten (Punkt, Gerade, Ebene) noch Kreis und Kugel hinzugenommen. In diesem Fall muss man dann allerdings auch quadratische Gleichungen lösen.
3. Man kann auch Lagebeziehungen in höher dimensionalen Räumen für Punkte, Geraden, Ebenen,...,Unterräume untersuchen.

Siehe auch

• Schnittpunkt
• Schnittgerade
• Schnittkurve
• Schnittwinkel (Geometrie)

Literatur

• Mathematik 2.2 (Gymnasiale Oberstufe Hessen), Cornelsen-Verlag, 2010, ISBN 978-3-464-57455-3, S. 118

Weblinks

• http://de.serlo.org/entity/view/2037
• http://de.serlo.org/entity/view/2041
• http://de.serlo.org/entity/view/1939
• https://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/analytische_geometrie/15lagebeziehungendreidim.html