Der Begriff der exakten Sequenz oder exakten Folge spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen.
Definition
Eine Sequenz
von Objekten und Morphismen in einer geeigneten Kategorie
heißt exakt an der Stelle , wenn
gilt, d. h. wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nächsten ist. Eine längere Sequenz
heißt exakt, wenn sie exakt an den Stellen , und ist (analog für kürzere oder längere Sequenzen).
Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann, wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann.
Dies ist der Fall für alle abelschen Kategorien, aber auch beispielsweise für die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
Beispiele
- Ist ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen, dann ist und . Die Folge ist daher exakt an der Stelle , wenn ist.
- Eine Sequenz ist genau dann exakt, wenn ein Monomorphismus, d. h. injektiv ist. Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
- Eine Sequenz
- ist genau dann exakt, wenn ein Epimorphismus, d. h. surjektiv ist. Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
- Für jeden Homomorphismus von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Moduln, jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) existiert eine exakte Sequenz, wie folgt:
- In Grp ist die Sequenz jedoch bei nur exakt, wenn das Bild von ein Normalteiler in ist. Auch in additiven, aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben. Dabei bezeichnet den Kokern von .
- Für eine Gruppe seien
- das Zentrum,
- die Gruppe der Automorphismen,
- die Gruppe der inneren Automorphismen und
- die Gruppe der äußeren Automorphismen
- von . Dann ist die Sequenz
- exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
- gegeben.
Kurze exakte Sequenzen
Definition
Eine exakte Sequenz der Form
heißt kurze exakte Sequenz.
Zerfallende kurze exakte Sequenzen
Eine kurze exakte Sequenz zerfällt, wenn
einen Schnitt hat. Vereinzelt wird anstatt zerfällt auch die Bezeichnung spaltet auf benutzt, die auf eine nicht ganz korrekte Übersetzung des englischen Begriffs split zurückzuführen ist.
In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch, dass eine Retraktion hat,
dass die entstehende Sequenz
ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen isomorph zu
bzw.
sind.
Zerfällt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen, ergibt sich daraus lediglich
eine Operation von auf , und
dass semidirektes Produkt von und
bezüglich dieser Operation ist. Beispielsweise ist die zyklische Gruppe Untergruppe der symmetrischen Gruppe , woraus sich die kurze exakte Sequenz
ergibt; indem man das nicht-neutrale Element der auf ein Element der Ordnung 2 in abbildet, erhält man eine Spaltung.
Aufteilung einer langen exakten Sequenz
Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man Kerne und Kokerne einfügt: Ist
eine exakte Sequenz, so sei
Dann gibt es kurze exakte Sequenzen
Ist ein Kettenkomplex, so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz äquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz.
Erweiterungen
Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz
sagt man auch, dass eine Erweiterung von durch ist.
Ist zum Beispiel ein Normalteiler in der Gruppe und die Faktorgruppe, so erhält man eine kurze, exakte Sequenz
- ,
wobei der zweite Pfeil die Einbettung von in und der dritte die Quotientenabbildung ist. Damit ist eine Erweiterung von und und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller möglichen Erweiterungen von und stellen. Entsprechende Fragestellungen erhält man etwa in der Kategorie der Ringe oder Moduln über einem festen Ring. Dies führt zu mathematischen Begriffen wie Ext oder Gruppenkohomologie.
Siehe auch
Literatur
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-76437-3, S. 77–79.