Leibniz-Reihe

Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl $\pi$, die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}$.

Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt, Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu. Die Reihe wird daher manchmal auch zusätzlich nach Gregory benannt.

Die Konvergenz dieser unendlichen Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch.

Konvergenzgeschwindigkeit

Das Restglied der Summe nach $n$ Summanden beträgt

$R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}-{\frac {\pi }{4}}=-\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$.

Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt

$|R_{n}|\leq {\frac {1}{2n+1}}$.

Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass

$|R_{n}|<{\frac {1}{4n}}$.

Mit $n$ Summanden kann man also $s$ Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der $s$-ten Nachkommastelle erhalten:

$s(n)=\lg(2n)$.

Die Anzahl benötigter Summanden $n$ für $s$ sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend

$n(s)={\frac {1}{2}}\cdot 10^{\textstyle s}$.

Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz’ Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sich eine Näherung der Kreiszahl $\pi$ berechnen, denn es ist

$\pi =4\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)$.

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von $\pi$ nicht geeignet.

n (Anzahl der berechneten Brüche)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis)	Verhältnis zur Kreiszahl (ppm)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (Ergebnis)	Verhältnis zur Kreiszahl (ppm)	Mittelwert	Verhältnis zur Kreiszahl (ppm)
2	2,6666666666666665	-151173,6368432249	3,4666666666666668	+103474,2721038077	3,0666666666666664	-23849,6823697086
4	2,8952380952380952	-78417,0914297870	3,3396825396825394	+63053,9690963421	3,1174603174603175	-7681,5611667224
8	3,0170718170718169	-39636,2132995474	3,2523659347188758	+35260,2305084034	3,1347188758953464	-2187,9913955720
16	3,0791533941974261	-19875,0335505845	3,2003655154095472	+18707,9829565416	3,1397594548034866	-583,5252970215
32	3,1103502736986859	-9944,7583872491	3,1718887352371476	+9643,5423009843	3,1411195044679165	150,6080431325
64	3,1259686069732875	-4973,2885002301	3,1569763589112720	+4896,7854899649	3,1414724829422798	-38,2515051326
100	3,1315929035585528	-3183,0192943105	3,1514934010709905	+3151,5058038744	3,1415431523147719	-15,7567452180
1000	3,1405926538397928	-318,3098066064	3,1425916543395429	+317,9918149504	3,1415921540896679	-0,1589958280
10000	3,1414926535900429	-31,8309885389	3,1416926435905430	+31,8278057582	3,1415926485902927	-0,0015913904
100000	3,1415826535897935	-3,1830988617	3,1416026534897941	+3,1830670312	3,1415926535397936	-0,0000159154
1000000	3,1415916535897930	-0,3183098862	3,1415936535887932	+0,3183095679	3,1415926535892931	-0,0000001592
10000000	3,1415925535897928	-0,0318309887	3,1415927535897827	+0,0318309853	3,1415926535897878	-0,0000000017
100000000	3,1415926435897932	-0,0031830988	3,1415926635897931	+0,0031830988	3,1415926535897931	+0,0000000000
1000000000	3,1415926525897930	-0,0003183099	3,1415926545897932	+0,0003183099	3,1415926535897931	+0,0000000000

Konvergenz-Beschleunigung

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergente Reihe (Nicolas Fatio, 1705)

${\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).$

Langsame Konvergenz

Letztlich ist die Leibniz-Reihe (auch nach Umformungen) für die Berechnung der Kreiszahl nur bedingt geeignet. Schneller konvergierende andere Reihen und Verfahren sind im Artikel Kreiszahl aufgeführt.

Siehe auch

• Wallissches Produkt
• Arkustangens

Literatur

• V. I. Bityutskov: Leibniz series. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).