Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper $k$, d. h. eine algebraische Varietät $G$ über $k$ zusammen mit

• einem Morphismus $m\colon G\times G\to G$ (Multiplikation)
• einem Morphismus $i\colon G\to G$ (inverses Element)
• und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Assoziativgesetz: $m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)$;
• neutrales Element: $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=\mathrm {id} _{G}=m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})$;
• inverses Element: $m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e\circ \xi =m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}$; dabei ist $\Delta _{G}\colon G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale ($g\mapsto (g,g)$) und $\xi \colon G\to \mathrm {Spec} (k)$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass $(m,i,e)$ für jedes $k$-Schema $T$ auf der Menge $G(T)$ der $T$-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

• Die additive Gruppe $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }$: $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})$ mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }(k)=(k,+)$ die affine Gerade $\mathbb {A} ^{1}(k)$ mit der Addition.
• Die multiplikative Gruppe $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }$: $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}^{\times })$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }(k)=(k^{\times },\cdot )$ die offene Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{A}^1(k)\setminus\left\{0\right\}} mit der Multiplikation.
• Die allgemeine lineare Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}_n} : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T))} ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} -Matrizen mit Einträgen im Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma(T,\mathcal O_T)} . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}_1} kann mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb G_{\mathrm m}} identifiziert werden.
• Der Kern eines Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:G\rightarrow H} algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{SL}_n(T)=\mathrm{ker}(\mathrm{det} : \mathrm{GL}_n \to \mathbb G_{\mathrm m})} eine algebraische Gruppe.
• Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
• Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}_n} werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
• Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_{\mathrm{aff}}} , diese ist normal und der Quotient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(G):=G/G_{\mathrm{aff}}} ist eine abelsche Varietät:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\rightarrow G_{\mathrm{aff}}\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0} .

Die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\rightarrow A(G)} ist die Albanese-Abbildung.

Literatur

• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
• Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
• Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
• Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).

Weblinks

Algebraic Groups von James S. Milne