Gruppenobjekt

Ein Gruppenobjekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Gruppe. Ein typisches Beispiel für ein Gruppenobjekt ist eine topologische Gruppe.

Definition

Sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie mit endlichen Produkten. Wir bezeichnen das Finalobjekt mit $1$. Ein Gruppenobjekt in ${\mathcal {C}}$ ist ein Objekt $G$ von ${\mathcal {C}}$ zusammen mit drei Morphismen

• $m:G\times G\to G$, Multiplikation
• $e:1\to G$, Inklusion des neutralen Elements
• $i:G\to G$, Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• $m$ ist assoziativ, das heißt $m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)$ als Morphismen $G\times G\times G\to G$.
• $e$ ist ein zweiseitiges neutrales Element für $m$, das heißt $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1}$ und $m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2}$, wobei $p_{1}:G\times G\to G$ (bzw. $p_{2}$) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
• $i$ ist ein zweiseitiges inverses Element für $m$, das heißt $m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e$ und $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}=e$. Hier bezeichnet $\Delta _{G}:G\to G\times G$ die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden. Ein Morphismus von Gruppenobjekten $(G,m,e,i)\to (G',m',e',i')$ ist ein Morphismus $f:G\to G'$, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt $f\circ m=m'\circ (f\times f)$, $f\circ i=i'\circ f$ und $f\circ e=e'$. Die Klasse der Gruppenobjekte von ${\mathcal {C}}$ bildet zusammen mit Morphismen von Gruppenobjekten wieder eine Kategorie, die wir für den Rest des Artikels mit ${\mathsf {Grp}}({\mathcal {C}})$ bezeichnen.

Alternativ kann ein Gruppenobjekt als darstellbarer Funktor $F:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp}$ in die Kategorie der Gruppen $\mathbf {Grp}$ beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Ein Gruppenobjekt ist kommutativ, wenn $m\circ \tau =m$ gilt. Hierbei ist $\tau :G\times G\to G\times G$ die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von $p_{2}$ und $p_{1}$ induziert.

Beispiele

• Jede Gruppe kann als Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen $\mathbf {Set}$ aufgefasst werden. Umgekehrt definiert jedes Gruppenobjekt in $\mathbf {Set}$ eine Gruppe. Die Kategorien $\mathbf {Grp}$ und ${\mathsf {Grp}}(\mathbf {Set} )$ sind also äquivalent.
• Auf ähnliche Weise ist jede topologische Gruppe ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen Räume.
• Eine abelsche Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen. Die Strukturmorphismen eines Gruppenobjektes in der Kategorie der Gruppen stimmen nach dem Eckmann-Hilton-Argument mit der ursprünglichen Gruppenstruktur überein.
• Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten.
• Eine Lie-Supergruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten.
• Eine H-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Homotopiekategorie topologischer Räume $\mathbf {hTop}$.
• Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten.
• Ein Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata. Elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten können als Gruppenschemata aufgefasst werden.
• Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum oder einem Situs ist ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der Garben.
• Ist ${\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorie, so ist jedes Objekt auf eindeutige Weise ein kommutatives Gruppenobjekt.
• Eine strikte 2-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der kleinen Kategorien.

Kogruppenobjekte

Analog kann man in einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ mit endlichen Koprodukten sogenannte Kogruppenobjekte definieren. Wir sprechen von Komultiplikation, koneutralem Element und Koinversion. Die Kogruppenobjekte von ${\mathcal {C}}$ sind gerade die Gruppenobjekte von ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$. Wir können Kogruppenobjekte auch als darstellbare Funktoren ${\mathcal {C}}\to \mathbf {Grp}$ auffassen. Die Kogruppenobjekte bilden eine Kategorie ${\mathsf {CoGrp}}({\mathcal {C}})$. Ein Kogruppenobjekt ist kokommutativ, wenn es als Gruppenobjekt von ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ kommutativ ist.

Beispiele für Kogruppenobjekte sind:

• Die Kategorie ${\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Set} )$ enthält nur die leere Kogruppe $\emptyset$ als Objekt. Genauso enthält ${\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Top} )$ nur die leere Kogruppe.
• Eine kommutative Hopf-Algebra ist ein Kogruppenobjekt in der Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der kommutativen Hopf-Algebren ist anti-äquivalent zur Kategorie der affinen Gruppenschemata.
• Eine H-Kogruppe ist ein Kogruppenobjekt in der Homotopiekategorie punktierter topologischer Räume $\mathbf {hTop} _{*}$.
• In einer abelschen Kategorie ${\mathcal {A}}$ besitzt jedes Objekt eine eindeutige kokommutative Kogruppenstruktur. Die Komultiplikation ist durch die Diagonale gegeben.

Gruppenobjekte als Modelle

Ist ${\mathcal {E}}$ ein Topos, so ist ein Modell der Theorie der Gruppen über ${\mathcal {E}}$ gerade ein Gruppenobjekt in ${\mathcal {E}}$. In diesem Zusammenhang können auch Torsore über Gruppenobjekten definiert werden.

Literatur

• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. 2017.  §8.2 "Gruppenobjekte"
• Saunders MacLane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997.  §III.6 "Groups in categories"