Garbe (Mathematik)

Eine Garbe ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie. Eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von Ringen aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen. Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen. Der mathematische Begriff ist metaphorisch von einer Getreidegarbe abgeleitet.

Prägarben lassen sich auf einer beliebigen Kategorie definieren. Garben lassen sich auf einem beliebigen Situs (das ist eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist) definieren.

Definitionen

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen gewärtig zu halten: $F(U)$ ist dann die Menge der stetigen Funktionen $U\to \mathbb {R}$, die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor $F$) sind schlichtweg die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Prägarbe auf einem topologischen Raum

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ ordnet jeder offenen Teilmenge $U\subseteq X$ eine Menge (bzw. eine abelsche Gruppe, einen Modul, einen Ring) ${\mathcal {F}}(U)$ zusammen mit Einschränkungsabbildungen $\rho _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)$ für alle Inklusionen offener Teilmengen $V\subseteq U$ zu. Dabei müssen die Einschränkungsabbildungen (im Falle von abelschen Gruppen, Moduln oder Ringen entsprechende Homomorphismen sein und) in der „offensichtlichen“ Weise zusammenpassen:

• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \rho _{U}^{U}=\mathrm {id} _{{\mathcal {F}}(U)}}
• $\rho _{W}^{V}\circ \rho _{V}^{U}=\rho _{W}^{U}$ für offene Teilmengen $W\subseteq V\subseteq U$.

Die Elemente von ${\mathcal {F}}(U)$ heißen (lokale) Schnitte von ${\mathcal {F}}$ über $U$, die Elemente von ${\mathcal {F}}(X)$ globale Schnitte. Statt ${\mathcal {F}}(U)$ schreibt man auch $\Gamma (U,{\mathcal {F}}).$

Für die Einschränkung $\rho _{V}^{U}(f)$ eines Schnittes $\,f\in {\mathcal {F}}(U)$ auf eine offene Teilmenge $V\subseteq U$ schreibt man auch $\,f|_{V}$.

Garbe auf einem topologischen Raum

Eine Garbe ist eine Prägarbe, bei der die Daten „lokal“ sind, d. h. die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung: Sind $f$ und $g$ Schnitte von ${\mathcal {F}}$ über $U$ und $\{V_{i}\}$ eine offene Überdeckung von $U$, und gilt

$f|_{V_{i}}=g|_{V_{i}}$

für alle $i$, so gilt $f=g$.

• Zusammenpassende lokale Daten lassen sich „verkleben“: Sind Schnitte $f_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ gegeben, so dass die Einschränkungen von $f_{i}$ und $f_{j}$ auf $V_{i}\cap V_{j}$ übereinstimmen, so gibt es einen Schnitt $f\in {\mathcal {F}}(U)$, so dass

$f_{i}=f|_{V_{i}}$

für alle $i$ gilt.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass $f$ in der zweiten Bedingung durch die $f_{i}$ eindeutig bestimmt ist.

Kategorientheoretische Definition einer Garbe auf einem topologischen Raum

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Die Kategorie $\mathbf {Ouv} (X)$ habe als Objekte die offenen Teilmengen von $X$ mit einem Morphismus $U\to V$ für jede Inklusion $U\subseteq V$ offener Mengen. Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ mit Werten in einer Kategorie $C$ ist ein kontravarianter Funktor ${\mathcal {F}}\colon \mathbf {Ouv} (X)\to C$. $C$ besitze Produkte.

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ heißt Garbe, falls das folgende Diagramm für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede Überdeckung $\{V_{i}\}$ von $U$ exakt ist:

${\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\,{\begin{matrix}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\end{matrix}}\,\prod {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j}),$

d. h., dass ${\mathcal {F}}(U)$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist, die sich wie folgt erklären. Zu jedem Indexpaar $(i,j)$ hat man zwei Inklusionen $\iota _{1}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{i}$ und $\iota _{2}^{(i,j)}:V_{i}\cap V_{j}\rightarrow V_{j}$. Einer der Pfeile ist das Produkt der ${\mathcal {F}}(\iota _{1}^{(i,j)}):{\mathcal {F}}(V_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(V_{i}\cap V_{j})$, der andere das Produkt der ${\mathcal {F}}(\iota _{2}^{(i,j)})$.

Prägarbe auf einer Kategorie, Garbe auf einem Situs

Eine Prägarbe auf einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor ${\mathcal {F}}$: C $\rightarrow$ A in eine Kategorie A, etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn C eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φ_i: V_i $\rightarrow$ U}_i$\in$I die Sequenz :${\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\,{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\,\prod {\mathcal {F}}(V_{i}\times V_{j}),$ exakt ist, d. h. wenn ${\mathcal {F}}(U)$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben. Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa Čech-Kohomologie.

Die Gesamtheit aller Garben auf einem Situs bildet einen Topos.

Morphismen

So wie eine Garbe eine Sammlung von Objekten ist, ist ein Morphismus zwischen Garben eine Sammlung von Morphismen dieser Objekte. Diese muss mit den Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Garben auf $X$ mit Werten in derselben Kategorie. Ein Morphismus $\varphi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ besteht aus einer Sammlung von Morphismen $\varphi (U)\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$, einer für jede offene Teilmenge $U$ von $X$, so dass für jede Inklusion $V\subseteq U$ offener Teilmengen die Bedingung ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ \rho _{V}^{U}$ erfüllt ist. Hierbei bezeichnet $\rho _{V}^{U}$ die Einschränkungsabbildung von ${\mathcal {F}}$ und ${\tilde {\rho }}_{V}^{U}$ die von ${\mathcal {G}}$.

Fasst man die Garben wie oben beschrieben als Funktoren auf, so ist ein Morphismus zwischen den Garben dasselbe wie eine natürliche Transformation der Funktoren.

Für jede Kategorie $C$ bilden die $C$-wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

Halme und Keime

Es sei $C$ eine Kategorie algebraischer Strukturen, die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z. B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren pseudofiltrierende Kolimites in $C$, und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt $x\in X$ ist der Halm ${\mathcal {F}}_{x}$ einer Prägarbe ${\mathcal {F}}$ im Punkt $x$ definiert als

${\mathcal {F}}_{x}=\operatorname {colim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V).$

Elemente des Halms heißen Keime.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von $x$, wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Vergarbung

Ist ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$, so gibt es eine Garbe $\mathbf {a} {\mathcal {F}}$, die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu ${\mathcal {F}}$, so dass für jede Garbe ${\mathcal {G}}$

$\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Garben)} }(\mathbf {a} {\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} }({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$

gilt. $\mathbf {a}$ ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor $\mathrm {(Garben)} \to \mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} .$

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

Direkte Bilder und Urbildgarben

Ist ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung, so ist

$U\mapsto {\mathcal {F}}(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ {\text{offen}}$

eine Garbe auf $Y$, die mit $f_{*}{\mathcal {F}}$ bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von ${\mathcal {F}}$ unter $f$ heißt.

Ist ${\mathcal {G}}$ eine Garbe auf $Y$, so ist die assoziierte Garbe zu

$U\mapsto \operatorname {colim} _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V)$

eine Garbe auf $X$, die Urbildgarbe, die mit $f^{-1}{\mathcal {G}}$ bezeichnet wird.

Ist $g\colon Y\to Z$ eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

$\,(gf)_{*}$ und $\,g_{*}f_{*}$

sowie die Funktoren

$\,(gf)^{-1}$ und $\,f^{-1}g^{-1}$

natürlich äquivalent.

Die Funktoren $\,f_{*}$ und $\,f^{-1}$ sind adjungiert: Ist ${\mathcal {F}}$ eine Garbe auf $X$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal G} eine Garbe auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,Y} , so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Hom}(f^{-1}\mathcal G,\mathcal F)=\operatorname{Hom}(\mathcal G,f_*\mathcal F).}

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_y} die Inklusion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{y\}\to Y} eines Punktes, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal G_y=i_y^{-1}\mathcal G;}

dabei wurde die Garbe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_y^{-1}\mathcal G} auf dem einpunktigen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,\{y\}} mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,(f^{-1}\mathcal G)_x=\mathcal G_{f(x)}.}

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass $\,f^{-1}$ trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,f_*} .

Der Étalé-Raum einer Garbe

Zu einer Garbe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} von Mengen sei ein topologischer Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} wie folgt definiert:

• Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} ; die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\to X} bilde ${\mathcal {F}}_{x}$ auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in X} ab.
• Die Topologie auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\to E,\quad x\mapsto f_x}

für jeden Schnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in\mathcal F(U)} über einer offenen Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq X} stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} über einer offenen Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq X} und den Schnitten von $\pi \colon E\to X$ über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} , d. h. den stetigen Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\colon U\to E} , für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi\circ s} gleich der Inklusion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq X} ist.

Dieser Raum $E$ heißt der Étalé-Raum (frz. étalé = ausgebreitet) oder, in deutschsprachiger Literatur auch ohne Akzente geschrieben, der etale Raum.

Beispiele

• Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

• Die Prägarbe, die jeder nicht-leeren offenen Teilmenge von $\mathbb {R}$ die abelsche Gruppe $\mathbb {Z}$ sowie der leeren Menge die triviale Untergruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0\}} zuordnet, ist keine Garbe: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=U_1\cup U_2} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1=(1,2)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2=(3,4)} , so lassen sich der Schnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1} und der Schnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2} nicht zu einem Schnitt über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} „verkleben“.

• Die Garbe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal O} der holomorphen Funktionen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb C} ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb C\{z\}} identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z-a} ).

• Es sei $X=\{\eta ,s\}$ der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen $s$ abgeschlossen ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta} nicht, d. h. der Sierpiński-Raum. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M=\Gamma(X,\mathcal F)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=\Gamma(\{\eta\},\mathcal F)} zusammen mit einer Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\colon M\to N} bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F_\eta=N} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F_s=M} .

• Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1} und zu offenem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subseteq X} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F(U)} die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon U\to \mathbb{R}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x+\varepsilon +\mathbb{Z})=f(x+\mathbb{Z})+\varepsilon} , sofern beide Seiten definiert sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\varepsilon|} hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F_x} isomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} und auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma(U,\mathcal F)\cong\mathbb R} für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\subsetneq X} . Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma(X,\mathcal F)=\emptyset} . Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

Verallgemeinerung

Der Begriff der Garbe lässt sich allgemeiner im Kontext von Grothendieck-Topologien fassen.

Siehe auch

• Garbenkohomologie

Literatur

• Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (Contemporary Logic).