Diskussion:Garbe (Mathematik)

“Étalé-Raum” versus “étale Raum”

Das zu einer Prägarbe zugehörige Halmbündel trägt den Namen “Étalé-Raum” und nicht “étaler Raum”. Die Verwirrung im Deutschen kommt natürlich von dem sonst überall in der algebraischen Geometrie gebrauchten Begriff “étale”. Hier aber ist “étalé” (frz. ausgebreitet), nicht “étale” (frz. still) gemeint.

Die Konzepte tauchen auch an ganz unterschiedlichen Stellen auf: Während étale Morphismen unverzweigte und glatte Morphismen sind (also irgendwie überhaupt gar nicht wild und gebrochen, sondern ganz still wie die wellenlose See), so ist die Étalé-Topologie auf einem Halmbündel eine Topologie, deren offenen Mengen sich ausbreitende offene Keime sind. Die offenen Mengen sehen aus wie schwebende Flocken in dem Halmbündel.

Diese Étalé-Topologie auf dem Halmbündel ist natürlich sehr verschieden von der auf dem Konzept der étalen Morphismen aufbauenden étalen Topologie auf Schemata und taucht in einem völlig anderen Kontext auf. (nicht signierter Beitrag von 93.132.179.243 (Diskussion) 10:55, 23. Aug. 2019 (CEST))

Garbe (math.) verschieben

Wieso stellt der Artikel zum Wort "Garbe" dessen Gebrauch in der Mathematik in den Vordergrund? Denn die eigentliche Bedeutung (etymologisch) des deutschen Wortes Garbe ist "Rupfung, Büschel". Sollte man nicht einen Extraartikel Garbe_Mathematik erstellen?.

Müsste man das Lemma Garbe (Begriffsklärung) nicht besser nach Garbe verschieben? Vor wäre allerdings Garbe nach Garbe (Mathematik) (oder anders??) zu verschieben. Ich fände das besser, da bestimmt keiner nach Garbe (Begriffsklärung) sucht und somit zwangsläufig IMMER bei Garbe landet. Falls es keine gegenteiligen Meinungen dazu gibt, werde ich dies gelegentlich umsetzen. Gruß, --WodyS 10:32, 2. Sep 2006 (CEST)

Zumeindest früher war das auch ein Korngarbe. MatthiasKabel 18:57, 24. Jul 2004 (CEST)

Andere Bedeutung

M.E. fehlt da die militärische Garbe (im Gegensatz zur Salve).--ChesneyB 18:35, 24. Aug 2005 (CEST)

Sobald es einen Artikel (z.B. Garbe (Militär) oder Garbe (Ballistik) oder wie auch immer) gibt, kann man ihn hier verlinken oder eine Begriffsklärungsseite einrichten. Vorher ist das nicht sinnvoll.--Gunther 00:38, 25. Aug 2005 (CEST)

Was hat die Mathematische Garbe mit Sensen und Getreide zu tun? Ausserdem würde mich der Bezug zu einem Reff auch sehr interessieren...--Keigauna 23:22, 11. Dez 2005 (CET)

Ein Reff gibt es in der Mathematik nicht, aber auch eine mathematische Garbe besteht aus Halmen, die "zusammengebunden" werden.--Gunther 23:28, 11. Dez 2005 (CET)

War gerade beim kategorisieren des Artikels Reff. Da der Artikel Garbe aber verlinkt war musste ich mal Nachhaken ;- )))))--Keigauna 23:33, 11. Dez 2005 (CET)

Garben in der Mathematik

Formal kann man eine Garbe G auch als kontravarianten Funktor von der Kategorie der offenen Mengen eines topologischen Raumes (mit Inklusionsabbildungen als Morphismen) nach "irgendwohin" (Gruppen, Ringe, Moduln, ...) auffassen, wenn noch zwei Eigenschaften erfuellt sind. Bezeichnet man naemlich die Bildmorphismen als "Einschraenkungen" von Elementen, so kann man die beiden Eigenschaften formulieren durch:

1) Jedes Element in der Bildmenge ist eindeutig bestimmt durch die Einschraenkung auf eine beliebige Ueberdeckung.

2) Gegeben Elemente auf offenen Mengen einer Ueberdeckung, die auf den Schnitten paarweise uebereinstimmen, dann existiert ein globales Element, von dem die urspruenglich gegebenen Objekte Einschraenkungen sind.

Als Beispiel kann man die Garbe der stetigen Funktionen auf einem top. Raum betrachten - wenn die Bildmenge mehr Struktur hat, kann man den stetigen Funktionen selbst ja auch noch z.B. eine Ringstruktur geben.

To-Do-Liste

• Garbenhomos
• Konstruktion der Vergarbung
• Beispiele: kann man irgendetwas Interessantes über die Garbe der stetigen oder $C^{\infty }$-Funktionen sagen?
• Verallgemeinerungen
• Modulgarbe und Garbenkohomologie sollten extern sein
• welke usw. Garben?

--Gunther 00:11, 3. Apr 2005 (CEST)

• Ursprung und Motivation der Garbe? Garben sollen ja in einem Kriegsgefangenenlager entwickelt worden sein.

Ich "unterstütze den Antrag" von vor 13 Jahren. Insbesondere wichtige Klassen von Garben (welke Garben, Wolkenkratzergarben, sehr ample Garben, ...) sollten beschrieben werden - gerne auch inkl. einer Erörterung, warum zum Teufel man nicht reichhaltig statt ampl sagt, oder warum man mit der Wolkenkratzergarbe die schöne agrikulturelle Metaphernwelt verlässt ;) --Hagman (Diskussion) 12:44, 10. Mai 2018 (CEST)

Verständlichkeit

Dieses Thema finde ich sehr spannend, aber bei wikipedia zzt. noch extrem unzugänglich. Schon mit dem Einleitungssatz habe ich enorme Mühe.

Ich versuche jetzt mal, ihn umzuformulieren, was eigentlich nur schief gehen kann, weil ich noch weit davon entfernt bin, zu verstehen, was er ungefähr meint. Wenn nötig also bitte reverten oder (besser!) überarbeiten. -- Peter Steinberg 00:59, 28. Apr 2005 (CEST)

Ich nehme mal an, Du legst keinen Wert auf Zustimmung ;-) --Gunther 01:08, 28. Apr 2005 (CEST)

In diesem Fall: Nein, denn meine Änderung war richtig ein Schuss ins Blaue. -- Peter Steinberg 00:18, 29. Apr 2005 (CEST)

Ok, so ist es zumindest wieder richtig. Garben sind insofern schwierig, weil es einerseits die Sichtweise der Schnitte, andererseits die Sichtweise der Halme gibt. Ich habe mich jetzt in der Einleitung für die Schnitte entschieden, weil man die Halme für die Garbe der stetigen Funktionen meistens erst nach den Garben kennenlernt (der Halm besteht aus den Keimen stetiger Funktionen um den jeweiligen Punkt).--Gunther 01:51, 28. Apr 2005 (CEST)

Nun bin ich sehr verwundert, weil ich gemeint habe, "Garbe" sei ein ziemlich wichtiger Begriff der Kategorientheorie, und Kategorien kommen jetzt in der Einleitung gar nicht mehr vor. - Ehrlich gesagt, kann ich mit dem Artikel jetzt immer noch nicht mehr anfangen als vorher. "Garbe", "Halm", "Schnitt" - das klingt so anschaulich. Aber leider füllen sich diese Begriffe für mich noch nicht mit einem mathematischen Sinn. - "Kompatible Einschränkungshomomorphismen" - Hm. Naja, wenn mir der Zusammenhang ungefähr klar wär, könnt ich mich dem Begriff wahrscheinlich schon was anfangen. (Du merkst: Ich schränke den enzyklopädischen Anspruch deutlich ein. Wenigstens Mathematiker, die ihren Horizont erweitern wollen, müssen ein Zugang zu den Artikeln finden können.) - Ich schränke nochmal ein: Vielleicht nicht zu jedem Artikel. Aber bei der Fülle der Artikel zum Thema 'Kategorie' muss es doch irgendwo für jemanden wie mich einen Einstieg mit vertretbarem Aufwand geben. -- Peter Steinberg 00:18, 29. Apr 2005 (CEST)

Hm, Garbe ist primär ein wichtiger Begriff der Topologie und algebraischen Geometrie. Garben "leben" auf geometrischen Objekten. Kategorien kommen in der Einleitung nur implizit vor, vgl. die abstrakte Definition: die offenen Teilmengen des Raumes bilden eine Kategorie, und die andere Kategorie ist die der abelschen Gruppen (oder Ringe oder wasauchimmer). Grothendiecks Verallgemeinerung (die im Artikel (noch) nicht erklärt ist) erlaubt dann noch allgemeinere Kategorien statt der Kategorie der offenen Teilmengen eines Raumes.

Ich weiß nicht, ob man den Begriff verstehen kann, ohne damit gearbeitet zu haben. Es könnte sein, dass eine Enzyklopädie hier scheitern muss. Ich werde mich jedenfalls mal um Beispiele kümmern.--Gunther 09:46, 29. Apr 2005 (CEST)

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Also vielleicht bin ich hier etwas altmodisch, aber soweit ich weiß machen Garben nur für abelsche Kategorien Sinn. Ansonsten funktioniert doch schon der ganze Kohomologiekram nicht. Wie packt man ansonsten das erste Garbenaxiom in die exakte Sequenz ... so wie es dasteht stimmt es doch nicht, oder? Ausserdem ist die Kohomologietheorie doch eher die Analyse des Funktors $\Gamma$ ... ? mfg...kilian.

Ah...ok..hat sich erledigt...Das erste Garbenaxiom folgt ja aus dem zweiten. Ich fände es mit abelschen Kategorien trotzdem mehr befriedigend...

Naja, zumindest Ringgarben wirst Du ja vermutlich auch betrachten wollen. Die Notation für den Differenzkern weicht von der für exakte Sequenzen in abelschen Kategorien ab, ist aber gerade in diesem Kontext üblich.--Gunther 22:22, 6. Jun 2005 (CEST)

Wie wärs dann wenigstens mit additiven Kategorien? Dann haben wir eine Null :-). Ausserdem sollten wir wohl Modulgarben erwähnen. kkilger 22:29, 6. Jun 2005 (CEST)

Die Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement hat kein Nullobjekt (Anfangsobjekt ist $\mathbb {Z}$, Endobjekt 0). Ich würde Modulgarben eher in einem separaten Artikel behandeln (zusammen mit (Quasi-)Kohärenz) und hier eher noch Verallgemeinerungen wie Garben auf einem Situs unterbringen.--Gunther 22:36, 6. Jun 2005 (CEST)

Naja ... die Definition eines Kerns macht auch für kommutative Ringe mit Einselement Sinn... Deswegen fordert man ja für gewöhnlich für Ringe nicht 1 ungleich 0 ... immerhin soll ja ein ring modulo einem ideal, wieder ein ring sein ... Das erste Garbenaxiom läßt sich halt sofort ablesen, wenn die 0-> davorsteht ... mfg Kilian.

Man kann jedenfalls den Kern eines Ringhomomorphismus $f$ nicht als Differenzkern von $f$ und 0 definieren, weil 0 kein Ringhomomorphismus ist. Das hat mit der Frage, ob man den Nullring als Ring zulässt, nichts zu tun. Das erste Garbenaxiom kann man auch so direkt ablesen, weil die Exaktheit des Diagramms per definitionem beinhaltet, dass der erste Pfeil ein Monomorphismus ist.--Gunther 23:15, 6. Jun 2005 (CEST)

Wird schon stimmen. Ich habe diese Definition des Differenzkerns einfach noch nicht gesehen. mfg kilian.

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Meiner Meinung nach wäre es sehr hilfreich, wenn jemand gute Beispiele für Keime und Halme geben könnte, vielleicht am Beispiel einer (Prä)Garbe von Funktionen. fh

Holomorphe Funktionen stehen doch schon im Artikel, da kann man die Halme ja auch ganz explizit beschreiben. Woran hattest Du noch gedacht?--Gunther 19:30, 19. Apr 2006 (CEST)

Verstehe ich es dann richtig, dass ein Keim im Nullpunkt eine konvergenze Potenzreihe wäre? Dann ist das Beispiel eigentlich auch schon ausreichend, denke ich. Ich finde denke nur, dass Beispiele dieser Art hilfreich sind, um das Konzept besser zu verstehen. fh

Ja. Man kann die Keime natürlich auch über die Konstruktion des Kolimes beschreiben (oder definieren, Funktionskeime sind eigentlich ein eigenständiger Begriff): Ein Funktionskeim in einem Punkt P ist eine Äquivalenzklasse von Funktionen, die in einer Umgebung von P definiert sind; dabei sind Funktionen äquivalent, die in einer (kleineren) Umgebung von P übereinstimmen. (Entsprechend gibt es auch komplexe Raumkeime (Äquivalenzklassen von Paaren (X,x) bestehend aus einem Raum X und einem Punkt $x\in X$, wobei zwei Paare äquivalent sind, wenn sie isomorphe punktierte offene Unterräume besitzen), allerdings weiß ich nicht, ob die noch etwas mit Keimen im Garbensinne zu tun haben.)--Gunther 12:38, 20. Apr 2006 (CEST)

undefiniert

Lemma wird nicht definiert. Im ersten Satz steht eine Nullerklärung ("ist ein Begriff aus dem Gebiet N"), danach folgt eine Reihe von Beispielen - jedenfalls meine ich dies aus der pseudo-dadaistischen Aneinanderreihung mathematisch sicher sehr exakter Fachausdrücke zu erahnen, die nur noch demjenigen etwas nutzen dürfte, der diesen Artikel ohnehin nicht mehr braucht.

Leider ist es bei vielen Artikeln in diesen "Spitzen"-Bereichen der Mathematik in der Wikipedia so, dass die Autoren nicht zwischen einer Definition und einer Erklärung unterscheiden vermögen; das können aber Mathematiker wohl aus prinzipiellen Gründen nicht, da beides für sie identisch ist. Für alle, die nicht zu dieser Menge gehören, gilt aber Definition != Erklärung. Hmpf. --82.83.63.43 00:28, 18. Mai 2012 (CEST)

Definition und Beispiel passen nicht überein

Entweder man definiert, dass Prägarben entweder die leere Menge auf das Nullobjekt (z.B. die triviale Gruppe) abbilden oder das Beispiel mit der konstanten Garbe F(U)=G für alle offenen U ist falsch, denn dann wäre das eine Garbe, da hier die Einschränkung auf die leere Menge auch wieder nur die Identität liefert. (nicht signierter Beitrag von ChristianTS (Diskussion | Beiträge) 23:41, 3. Dez. 2013 (CET))

Aber du kannst bei diesem Beispiel eben nicht zwei Schnitte heben, wie auch beschrieben worden ist.--Frogfol (Diskussion) 02:32, 5. Dez. 2013 (CET)

Morphismus

Die Definition von Morphismen funktioniert eigentlich genauso auch schon für Prägarben. Sollte man das erwähnen?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 13:12, 22. Jul. 2014 (CEST)

Halme und Keime

Im Abschnitt ist von projektiven Limits die Rede, es sind aber doch wohl direkte Limits (Kolimits) gemeint?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 10:02, 30. Aug. 2014 (CEST)