Ljapunow-Diagramm

Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz ba, bekannt als Ljapunow Space

Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz bbbbbbaaaaaa, bekannt als Zircon Zity

Ljapunow-Diagramme (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow; auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale) sind Fraktale, die durch eine Modifikation der Logistischen Gleichung entstehen. Der Wachstumsgrad der Population – $r$ – wird anders als bei Logistischen Gleichung, nicht für jeden Punkt konstant gehalten, sondern in periodischen Sequenzen (z. B. Sequenz "ABAAB") zwischen zwei Werten $a$ und $b$, mit $0\leq a,b\leq 4$ umgeschaltet.

Die logistische Gleichung lautet

$x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})$

mit dem üblichen Startwert $x_{0}=0{,}5$. In diesem Beispiel (Sequenz "ABAAB" mit der Länge 5) würde $r$

$r_{0}=r_{5}=\ldots =r_{5k+0}=a$,

$r_{1}=r_{6}=\ldots =r_{5k+1}=b$,

$r_{2}=r_{7}=\ldots =r_{5k+2}=a$,

$r_{3}=r_{8}=\ldots =r_{5k+3}=a$,

$r_{4}=r_{9}=\ldots =r_{5k+4}=b$

gewählt werden.

Daraus ergeben sich folgende mathematischen und gestalterischen Unterschiede zur Logistischen Gleichung:

• Man hat statt einer Zahl $r$ zwei Zahlen $a$ und $b$ auszuwählen. Dadurch erhält man statt einer eindimensionale Funktion $f(r)$ eine zweidimensionale Funktion $f(a,b)$.
• Man stellt daher nicht mehr die Werte der Reihe $x_{0}$, $x_{1}$, $\ldots$ als Funktion über $r_{\mathrm {min} }\leq r\leq r_{\mathrm {max} }$ dar, sondern genauso wie beim Apfelmännchen das Konvergenzverhalten der Reihe als Karte von $(a_{\mathrm {min} }\leq a\leq a_{\mathrm {max} })\times (b_{\mathrm {min} }\leq b\leq b_{\mathrm {max} })$.
• Man hat die Sequenzfolge als weiteren Gestaltungsfaktor.

Dann werden für Werte (a,b) aus Intervallen, die – um interessante Figuren zu bekommen – meist im Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \le a \le 4} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \le b \le 4} gewählt werden, jeweils die Iterationswerte der logistischen Gleichung berechnet und der Ljapunow-Exponent berechnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log \left|{dx_{n+1} \over dx_n}\right| = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n (1 - 2x_n)|}

Ist der Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda < 0} , wählt man für den Punkt mit den Koordinaten (a,b) z. B. gelb als Farbe, ist er größer als Null (was zu exponentiellem Wachstum führt, Chaos), wählt man z. B. blau als Farbe. Entsprechend kann man die Farbwerte noch abstufen je nach der Größe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} . Das Ergebnis ist das Ljapunow-Diagramm, das häufig fraktaler Natur ist. Ein Beispiel ist das Diagramm Zircon Zity, gebildet mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3{,}4 \le a \le 4{,}0 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2{,}5 \le b \le 3{,}4} und der Sequenz (bbbbbbaaaaaa).

Mehr Dimensionen

Datei:Lyapunov fractal animation.webm

3D-Rendering eines Lyapunov-Fraktals mit der Sequenz ABCCAAB

Es können mehr als zweidimensionale Lyapunov-Diagramme generiert werden, indem man

• mehr als zwei Werte, z B. die Werte a, b und c wählt,
• Sequenzen definiert, die diese Werte benutzen, z. B. "ABCC",
• geeignete Wertebereiche für a, b und c wählt.

In diesem Beispiel (Sequenz "ABCC" mit der Länge 4) würde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_0 = r_4 = \ldots = r_{4k+0} = a} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_1 = r_5 = \ldots = r_{4k+1} = b} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_2 = r_6 = \ldots = r_{4k+2} = c} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_3 = r_7 = \ldots = r_{4k+3} = c}

gewählt werden.

Dreidimensionale Darstellungen können dabei auch als Animation dargestellt werden.

Quellen

• Mario Markus: Ljapunow-Diagramme. Spektrum der Wissenschaft 1995/4, 66–73.

Weblinks

Commons: Lyapunov fractals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• EFGs, Fraktale und Chaos – Ljapunow-Exponenten (englisch)
• Lyapunov Space – Das Chaos Hypertextbuch von Glenn Elert (englisch)
• Ljapunow-Diagramme im Design (Memento vom 7. März 2009 im Internet Archive)