Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $(S,{\mathcal {B}})$ ein Messraum. Eine Abbildung $f\colon \Omega \to S$ heißt lokal messbar, falls für jedes $A\in {\mathcal {A}}$ mit $\mu (A)<\infty$ die Abbildung $f|_{A}\colon (A,{\mathcal {A}}\cap A)\to (S,{\mathcal {B}})$ messbar ist, d. h. falls für jedes $B\in {\mathcal {B}}$ stets $f^{-1}(B)\cap A\in {\mathcal {A}}$ ist.

Eigenschaften

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

Literatur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.