Losgröße

Als Losgröße bezeichnet man im Rahmen der Industriebetriebslehre und der Produktionswirtschaft die Menge von Produkten eines Fertigungsauftrages im Falle einer Losfertigung, die die Stufen des Fertigungsprozesses als geschlossener Posten durchlaufen.

Klassifikationsmerkmale der Modelle zur Bestimmung optimaler Losgröße

In die Modellierung entsprechender Losgrößenprobleme können mehrere für die Praxis relevante Parameter einfließen:^[1]

Informationsgrad: Qualität der in die Modellierung eingehenden Daten: so äußern sich im Gegensatz zu deterministischen Informationen stochastische, also Schwankungen unterworfene Daten in höheren Lagerbeständen bzw. Produktions- bzw. Rüstzeiten.
Zeitliche Entwicklung: mit statischer und dynamischer Nachfrage.
Wahl des Planungszeitraumes: die bei der Planung zu berücksichtigende Weite des Planungshorizonts. Insbesondere bei rollierender Planung geht man von endlichen Planungszeiträumen aus. Dynamische Modelle gehen jedoch von unendlichem Planungshorizonten aus.
Anzahl der Produkte: Umfang des Produktionsprogramms im Rahmen eines Einprodukt- bzw. Mehrproduktunternehmens.
Anzahl der Dispositionsstufen: Tiefe der Produktionsstruktur mit einstufiger oder mehrstufiger Fertigung.
Beachtung von Kapazitäten: kapazitive oder nicht kapazitive Betrachtung mit Einbeziehung von vorhandenen Ressourcen oder Finanzmittel.
Zu berücksichtigende Kosten: Betrachtung von Rüst-, Lager-, Produktionskosten.
Art der Produktweitergabe: Art des Austausches von Losen zwischen einzelnen Stufen oder Zwischenlager. Bei geschlossener Fertigung verlässt das komplette Los die letzte Produktionsstufe, während bei offener Fertigung bereits das erste fertiggestellte Stück eines Loses weitergereicht werden kann.
Erzeugnisstruktur: Art der Fertigung mit serieller, konvergierender, divergierender und genereller Fertigung.
Berücksichtigung von Fehlmengen: Falls Fehlmengen erlaubt sind, wird unterschieden zwischen Verzugsmengen die später nachgeliefert werden und gänzlich verlorenen Aufträgen.
Fertigungsgeschwindigkeit: einfache Modelle gehen von unendlich hoher Fertigungsgeschwindigkeit aus, komplexere von einer endlichen, die meist als konstant angenommen wird. Gegebenenfalls können auch reihenfolgeabhängige Rüstzeiten berücksichtigt werden.
Ziele: Die meisten Modelle versuchen die Gesamtkosten zu minimieren. Manche Modelle beziehen sich aber auf die Maximierung des Servicegrades (der Lieferbereitschaft) oder auf eine möglichst gleichmäßige Kapazitätsauslastung.

Arten von Losgrößen

Man unterscheidet zwischen den folgenden Losgrößen:

Technische Losgröße: Darunter versteht man den Nettobedarf des Loses zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Fertigung.
Kapazitive Losgröße: Diese Losgröße wird verwendet, um eine optimale Auslastung der Kapazität zu erreichen.
Wirtschaftliche Losgröße: Sie ist so gewählt, dass die Kosten für den Bedarf möglichst gering gehalten werden.
Logistische Losgröße: Unterschiedliche Laderaumkapazitäten von Transportmitteln und Transportmengen begründen diese Größe.
Engpassorientierte Losgröße: Diese Losgröße resultiert aus dem Zielkonflikt, dass ein Kunde einen dringenden Bedarf nach irgendeinem Gut hat, aber die Kapazitäten entweder sehr knapp oder überlastet sind.

Losgrößenmodelle

Die zur Bestimmung der Losgröße zur Verfügung stehenden Verfahren teilen sich in drei Gruppen ein:

Statische Losgrößenverfahren

Bei den statischen Losgrößenverfahren wird die Losgröße ausschließlich anhand von Mengenvorgaben aus dem jeweiligen Materialstammsatz gebildet. Es gibt unterschiedliche Kriterien, nach denen die Losgröße berechnet werden kann:

Exakte Losgröße

Feste Losgröße

Auffüllen bis zum Höchstbestand

Bestellpunktdisposition mit oder ohne Berücksichtigung externer Bedarfe

Periodische Losgrößenverfahren

Bei den periodischen Losgrößenverfahren werden die Bedarfsmengen einer oder mehrerer Perioden zu einer Losgröße zusammengefasst. Die Anzahl der Perioden, die zu einem Bestellvorschlag zusammengefasst werden sollen, kann man beliebig festlegen. Man unterscheidet:

Tageslosgröße

Wochenlosgröße

Monatslosgröße

Losgrößen nach flexiblen Periodenlängen, analog zu Buchhaltungsperioden (Periodenlosgrößen)

Optimierende Losgrößenverfahren

Bei den optimierenden Losgrößenverfahren werden Bedarfsmengen mehrerer Perioden zu einer Losgröße zusammengefasst, wobei zwischen losgrößenfixen Kosten und Lagerhaltungskosten ein Kostenoptimum ermittelt wird. Die verschiedenen Optimierungsverfahren unterscheiden sich nur in der Art des Kostenminimums.

Weitere Modelle

Statisch-deterministische Modelle (Ein Produkt)

Diesen Modellen ist gemein, dass die Nachfrage konstant (statisch) und vorab bekannt (deterministisch) ist. Grundmodell ist das unkapazitierte, einstufige, Einproduktmodell mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit. Für die Details des Grundmodells siehe Klassische Losformel.

Endliche Produktionsgeschwindigkeit

Als Kosten je Zeiteinheit ergeben sich^[2]

K(\tau )={\frac {f}{\tau }}+{\frac {1}{2}}l_{\mathrm {max} }c

mit

$l_{\mathrm {max} }$ $l_{\mathrm {max} }$ und $t^{p}$ $t^{p}$ sind Hilfsgrößen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t^p = q/p}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_\mathrm{max} = q-t^p b = q (1-\rho) = b (1-\rho) \tau}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} - Zyklusdauer
$c$ - Lagerhaltungskosten je Zeiteinheit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} - fixe Rüstkosten je Rüstvorgang
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} - Bedarf pro Zeit (Absatzgeschwindigkeit)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} - Produktion pro Zeit (Produktionsgeschwindigkeit)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} - Losgröße
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho := b/p} - Belegungszeitanteil auf der Maschine

Als Kosten ergeben sich somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(\tau)=\frac{f}{\tau} + \frac{1}{2}b(1-\rho)\tau c} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(q)= \frac{fb}{q} + \frac{1}{2} q(1-\rho)c} .

Durch ableiten und Nullsetzen erhält man die optimalen Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q^*= \sqrt{\frac{2bf}{c(1-\rho)}}} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau^*= \sqrt{\frac{2f}{c(1-\rho)b}}} .

Weitere Verallgemeinerungen

Rabatte: Es werden zwei verschiedene Ausprägungen unterschieden:
- Der Rabatt bezieht sich auf die gesamte Bestellmenge. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die gesamte Menge
- Der Rabatt bezieht sich auf alle Einheiten über einer bestimmten Grenze. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die Menge die 1000 überschreitet.

Für beide Fälle lässt sich im ersten Schritt für die einzelnen Rabattstaffeln das Standardmodell anwenden mit entsprechenden minimalen Kosten. Durch einen Vergleich der einzelnen Minima erhält man das globale Minimum.

Sprungfixe Lagerkosten
Veränderliche Einstandspreise

Statisch-deterministische Modelle (mehrere Produkte)

Für den Fall, dass keine Kopplung zwischen den Produkten existiert, ergibt sich die optimale Bestellpolitik aus der separaten Anwendung des Standardmodells auf die einzelnen Produkte. Kopplungen ergeben sich beispielsweise durch Lose aus verschiedenen Produkten für die die losfixen Kosten nur einmal anfallen. Analog ist das Bestellmengenmodell mit Sammelbestellungen bei dem für die Sammelbestellung nur einmal die Bestellfixen Kosten anfallen. Außerdem existieren Modelle mit Lagerkapazitätsbeschränkungen und Modelle bei denen alle Produkte auf einer Engpassmaschine zu fertigen sind.^[3] Letzteres ist als Problem optimaler Sortenschaltung bekannt.^[4]

Beispielmodell

Ein einfaches Modell mit Kapazitätsbeschränkung sieht wie folgt aus:^[5]

Die einzelnen Produkte werden in einem gemeinsamen Lager gelagert. Die Kapazität sei $\kappa$ [m²]
$b_{j}$ sei der Bedarf des Produktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j = 1, 2, \dots, n} in Mengeneinheiten pro Zeiteinheit [ME/ZE]
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_j} fixe Losauflagekosten / (fixe Bestellkosten) für Produkt j
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_j} Lagerhaltungskosten für Produkt j
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_j} Kapazitätsbedarf einer ME von Produkt j (z. B. m² an Stellfläche)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w:=c_j b_j /2} wird zur Vereinfachung der Darstellung benutzt

Die Zielfunktion ist

\min K(q)=\sum _{j=1}^{n}(b_{j}/q_{j}f_{j}+0{,}5c_{j}q_{j})

Unter den Nebenbedingungen

\sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}\leqq \kappa

Im ungünstigsten Fall werden alle Lose zeitgleich aufgelegt. Die Summe der noch zu bestimmenden Losgrößen muss also kleiner oder gleich der Lagerkapazität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} sein.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_j > 0}

Lösung des Modells

Vernachlässigt man die Lagerkapazität und wendet für jedes Produkt die Formel des Standardmodells an, so erhält man als optimale Losgröße bzw. optimale Zyklusdauer:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_j^e=\sqrt{\frac{2 b_j f_j}{c_j}} \quad \text{und} \quad \tau_f^e = \frac {q_j^e}{b_j}=\sqrt {\frac{f_j}{w_j}}}

Falls die Kapazitätsrestriktion erfüllt ist, hat man die optimale Lösung gefunden. Falls nicht so gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^n q_j k_j = \kappa}

Die Lagerkapazität wird also vollständig genutzt. Die optimale Losgröße ergibt sich durch Lagrange-Multiplikation mit der Kapazitätsrestriktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(q,\lambda) = \sum_{j=1}^n (b_j / q_j f_j + 0{,}5 c_j q_j) + \lambda \left(\sum_{j=1}^n q_j k_j - \kappa\right) }

Leitet man nun nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_1, q_2, \dots, q_n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} ab, so erhält man ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und Unbekannten.

Man erhält

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_j^*=\sqrt{\frac{2 b_j f_j}{c_j + 2 \lambda k_j}}}

die optimalen Loßgrößen in Abhängigkeit von $\lambda$ .

Diese kann man in die partiellen Ableitungen einsetzen und erhält eine streng monotone Funktion die an einer Stelle den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} annimmt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^n k_j \sqrt{\frac{2 b_j f_j}{c_j + 2 \lambda k_j}}= \kappa}

Diese Stelle lässt sich mit iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren bestimmen.

Statisch-deterministische Modelle mit mehrstufiger Produktion

Bei mehrstufiger Produktion sind nicht nur für jedes Produkt, sondern auch für jede Produktionsstufe Loßgrößen zu bilden. Die Ausgestaltung eines konkreten Problems hängt stark von der Produktstruktur ab. Bei konvergierender Struktur werden mehrere Einzelteile zu einem Gesamtprodukt zusammengefügt. Bei divergierender Struktur werden aus einem Zwischenprodukt verschiedene Endprodukte hergestellt. Mischungen können ebenfalls vorkommen.^[6]

Dynamisch-deterministische Modelle

Bei dynamisch-deterministischen Modellen wird der Planungszeitraum in endlich viele, gleich lange Perioden unterteilt, während die statisch-deterministischen Modelle in der Regel von einem unendlich langen Planungszeitraum ausgehen. Das Grundmodell von Wagner und Whitin, teilweise auch Wagner-Whitin-Modell genannt, behandelt nur ein Produkt, mit nur einer Produktionsstufe, ohne Kapazitätsgrenzen. Es lässt sich mit der dynamischen Optimierung lösen. Es lässt sich als Warehouse Location Problem interpretieren: Die Eröffnung eines Standortes entspricht dann der Auflage eines Loßes und die Kunden entsprechen den einzelnen Perioden. Der Wagner-Whitin-Algorithmus liefert ein optimales Ergebnis. Außerdem existieren noch einige Heuristiken:^[7]

gleitende wirtschaftliche oder dynamische Losgröße (least-unit-cost method)
Stückperiodenausgleich (part-period method)
Silver-Meal Heuristik
Verfahren von Groff

Stochastische Modelle

Stochastische Modelle gehen von zufallsbedingten Bedarfen aus. Das bekannteste ist das Zeitungsjungen-Modell.

Literatur

Wolfgang Domschke, Armin Scholl, Stefan Voß: Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63560-2.
Horst Tempelmeier: Material-Logistik. Grundlagen der Bedarfs- und Losgrößenplanung in PPS-Systemen. 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58928-7.
Sigfrid Gahse: Lagerdisposition mit elektronischen Datenverarbeitungsanlagen, Neue Betriebswirtschaft, 18. Jg. (1965), S. 4

Einzelnachweise

↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 69–75.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 79–81.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 84.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 90.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 87–89.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 103.
↑ Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 115–128.

[1] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 69–75.

[2] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 79–81.

[3] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 84.

[4] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 90.

[5] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 87–89.

[6] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 103.

[7] Domschke, Scholl, Voß: Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 115–128.

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