Warehouse Location Problem

Das Warehouse Location Problem (WLP), auch als Uncapacitated Facility Location Problem (UFLP) oder Simple Plant Location Problem (SPLP) bekannt, ist ein diskretes Standortproblem, das vor allem in der Logistik auftritt. Dabei stehen mehrere mögliche Standorte für ein oder mehrere Lagerhäuser, von denen verschiedene Kunden zu beliefern sind. Die Standorte der Kunden und die von ihnen nachgefragten Warenmengen sind dabei schon bekannt. Gefragt wird danach, an welchen der Standorte man Lager errichten sollte. Bei vielen regional verteilten Lagern sind die Transportkosten im Allgemeinen geringer, da die Entfernungen zu den Kunden kürzer sind. Dafür sind die Kosten für den Bau dieser Lager hoch. Bei wenigen Lagern (im Extremfall nur einem) verhält es sich genau andersherum. Die mathematische Modellierung ermöglicht eine Lösung durch exakte Verfahren oder eine heuristische Lösungssuche.

Grundannahmen

Im einfachsten Fall gilt es, zu Beginn einer Periode eine Menge $I=\{1,\ldots ,n\}$ an Kunden mit einem Gut zu versorgen. Dazu können aus einer Menge von möglichen Standorten, Lager (engl. Warehouse) eröffnet werden. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J=\{1,\ldots,m\}} diese Menge. Das Eröffnen eines Standorts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} hat gewisse Fixkosten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_j} zur Folge. Die Kosten der Belieferung von Kunde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} durch Standort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} können durch eine Kostenmatrix dargestellt werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{ij}} sind dabei die Kosten des Transports von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} .

Dies kann mit einer zu minimierenden Zielfunktion und ihren Nebenbedingungen modelliert werden. Zu beachten ist, dass $x_{ij}$ als Gewichtungsfaktor zwischen 0 und 1 liegt und angibt, zu welchem Anteil der Kunde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} durch den Standort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} versorgt wird, während Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_j} eine Binärvariabe darstellt, die angibt, ob das Lager Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} überhaupt benötigt wird.

Dann ist der Ausdruck

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{ij} x_{ij} + \sum_{j=1}^m f_j y_j}

zu minimieren unter den Nebenbedingungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall i \in I \colon \quad\quad \sum_{j=1}^m x_{ij} = 1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall i \in I \quad \forall j \in J \colon \quad\quad 0 \le x_{ij} \le y_j \in \{0,1\}}

Lösungsansätze

Das Problem kann mit Hilfe von Methoden des Operations Research gelöst werden. Dazu zählen Enumeration (beispielsweise durch Branch-and-Bound) oder der Einsatz von Heuristiken zur Bestimmung einer nicht unbedingt optimalen (Näherungs-)Lösung.

Das WLP ist NP-schwer. Bereits für die Entscheidung, welche Lager eröffnet werden sollen, gibt es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^m-1} mögliche Teilmengen (denn man braucht mindestens ein Lager). Sofern mehr als ein Lager eingerichtet wird, muss zusätzlich für jeden Kunden festgelegt werden, zu welchen Anteilen er aus welchem Lager versorgt wird. Prinzipiell eröffnet dies unendlich viele Möglichkeiten, sodass eine vollständige Auflistung nicht möglich ist, allerdings kann auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{ij} \in \{0,1\}} gewählt werden, indem man jeden Kunden aus dem Lager mit den geringsten Transportkosten versorgt.

Der Einsatz von Branch-and-Bound-Algorithmen (beispielsweise DuaLoc von Erlenkotter) ist eine häufig verwendete Lösungsmethode. Diese arbeiten mit Hilfe eines Entscheidungsbaums und können zumindest unter günstigen Umständen sehr schnell die beste Lösung ermitteln.

Eine heuristische Herangehensweise wird nicht zwangsläufig die optimale Lösung finden. Dennoch wird sie oft bevorzugt, da sie wesentlich schneller arbeitet. Einfache Beispiele stellen der ADD- und der DROP-Algorithmus (beides Greedy-Algorithmen) dar, mit deren Hilfe eine erste Lösung für das WLP gefunden werden kann. Häufig werden diese beiden Verfahren in Kombination angewendet.

Beispiel

Ein Unternehmen hat drei mögliche Standorte für ein Lager ausgemacht.

Die Kostenmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{ij}} betrage: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}}

Die Fixkosten seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_1 = 10} , $f_{2}=12$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_3 = 8} .

Diese Daten können folgendermaßen interpretiert werden: Die Belieferung von Kunde Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} durch Standort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i = j} erzeugt keine Transportkosten. Möglicherweise sind Lager und Kunde in diesem Fall am selben Ort. Die Eröffnung von drei Lagerhäusern ist dennoch nicht optimal, da die Fixkosten $F=10+12+8=30$ betragen würden. In diesem einfachen Beispiel wäre es optimal, Standort 3 auszuwählen, da die Summe der anfallenden Transportkosten (5) und der Fixkosten (8) für dieses Problem minimal ist.

Literatur

• Barahona, Chudak: Solving Large Scale Uncapacitated Location Problems. 2005.
• Domschke, Drexl: Logistik: Standorte. 1996.
• Love, Morris, Wesolowsky: Facilities Location: Models and Methods. 1988.