Maßproblem

Das Maßproblem ist ein Problem in der Mathematik, das grundlegend für die Maßtheorie ist. Es stellt die Frage, ob man jeder Teilmenge der Ebene, das heißt jeder in beliebiger Weise aus Punkten der Ebene zusammengesetzten Menge, in vernünftiger Weise ein Flächenmaß, oft auch Flächeninhalt genannt, zuordnen kann. Abhängig davon, was als vernünftig gelten soll, lautet die überraschende Antwort nein. Nicht nur in der zweidimensionalen Ebene, sondern auch in anderen Dimensionen ist die entsprechende Fragestellung negativ zu beantworten.

Das Maßproblem in der Ebene

Datei:MaßproblemIllustration.png

Komplexer werdende Teilmengen der Ebene und ihre Flächeninhalte

Schon in der elementaren Schulmathematik lernt man, gewissen Teilmengen der Ebene, die man Flächen nennt, Zahlen als ihren Flächeninhalt zuzuordnen. Ein Rechteck erhält den Flächeninhalt „Seite mal Seite“, einem Dreieck wird „Grundseite mal Höhe durch 2“ zugeordnet. Später kommen krummlinig berandete Flächen wie Kreise (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} mal Radius zum Quadrat) hinzu, noch später werden Flächenstücke unter Kurven betrachtet, die Methoden zur Ermittlung des Flächeninhalts werden dabei zunehmend komplexer. Kann man das immer weiter treiben und schließlich jeder Teilmenge der Ebene in vernünftiger Weise eine Zahl als Flächeninhalt zuordnen?

An ein vernünftiges Flächenmaß, das jeder Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset \mathbb{R}^2} , also jeder Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} der Ebene, eine Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A)} als Flächeninhalt zuordnet, wird man folgende Forderungen stellen (der griechische Buchstabe μ soll dabei an Maß erinnern):

Positivität: Für jede Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset {\mathbb R}^2} ist $\mu (A)\geq 0$, wobei auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty} zugelassen ist. Negative Zahlen werden nicht als Flächeninhalte zugelassen.

Kongruenz: Sind zwei Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B\subset \mathbb{R}^2} kongruent, d. h. sie gehen durch Parallelverschiebung, Spiegelung oder Drehung auseinander hervor, so sollen sie dasselbe Flächenmaß haben, d. h., es soll $\mu (A)=\mu (B)$ gelten.

Normiertheit: Das Einheitsquadrat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]^2 \subset \mathbb{R}^2} soll das Flächenmaß 1 haben, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu\left([0,1]^2\right) = 1} . Damit ist die einfache, aber wenig sinnvolle Lösung, alle Flächeninhalte auf 0 festzulegen, ausgeschlossen.

Ausschöpfung eines Kreises durch Dreiecke

Für die nächste Eigenschaft erinnern wir uns daran, wie man einen Kreis durch eine Folge immer kleiner werdender Dreiecke ausschöpfen kann. Man beginnt damit, dem Kreis ein gleichseitiges Dreieck einzubeschreiben. Anschließend setzt man auf jede Dreiecksseite ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Spitze auf der Kreislinie liegt und dessen Grundseite nicht dazugehören soll, und erhält so ein dem Kreis einbeschriebenes Sechseck. Indem man dies wiederholt, erhält man ein Zwölfeck, dann ein 24-Eck usw. Man sieht, dass sich der Kreis aus unendlich vielen nicht überlappenden Dreiecken zusammensetzt. Der Flächeninhalt des Kreises berechnet sich dann als die „unendliche Summe“ der immer kleiner werdenden Dreiecke. Damit solche Konstruktionen erfolgreich sein können, muss man an das Flächenmaß noch folgende Anforderung stellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1, A_2,A_3,\ldots \subset \mathbb{R}^2} eine Folge von paarweise punktfremden Mengen, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_i \cap A_j = \emptyset} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \neq j} , so soll die unendliche Vereinigung $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots$ die Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(A_1) + \mu(A_2) + \mu(A_3) + \ldots} als Flächenmaß haben, d. h. in kompakter Schreibweise: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)} , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_i \cap A_j = \emptyset} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \neq j} .

Das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} in der Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität soll darauf hinweisen, dass hier abzählbar unendliche Summen behandelt werden.

Bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} wie üblich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^2\right)} , so lautet das Maßproblem in seiner präzisen Form:

• Gibt es eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu\colon\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^2\right)\rightarrow [0,\infty]} , die die oben genannten Eigenschaften Positivität, Kongruenz, Normiertheit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität erfüllt?

Das Maßproblem in n Dimensionen

Das Maßproblem kann leicht auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionale Räume ausgedehnt werden; das umfasst die der Anschauung zugänglichen Dimensionen 1, 2 und 3, wobei man es dann mit Längen-, Flächen- bzw. Volumenmessung zu tun hat. Das Maßproblem in $n$ Dimensionen lautet:

Gibt es eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n:\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right)\rightarrow [0,\infty]} mit folgenden Eigenschaften:

• Positivität: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n(A)\ge 0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset \mathbb{R}^n} (diese Bedingung steckt eigentlich bereits in der Vorgabe des Bildbereichs der Abbildung),
• Kongruenz: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n(A) = \mu_n(B)} , falls A und B kongruent sind,
• Normiertheit: $\mu _{n}\left([0,1]^{n}\right)=1$,
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu_n\left(A_i\right)} , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_i \cap A_j = \emptyset} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \neq j}  ?

Man könnte sogar noch weitere naheliegende Forderungen an eine Maßfunktion stellen:

Leere Menge: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n(\emptyset) = 0} ,

Einpunktmenge: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n\left(\{x\}\right) = 0} für alle Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in \mathbb{R}^n} ,

Additivität: $\mu _{n}(A_{1}\cup A_{2})=\mu _{n}(A_{1})+\mu _{n}(A_{2})$, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1 \cap A_2 = \emptyset} , oder

Monotonie: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n(A) \le \mu_n(B)} , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset B} .

Diese Eigenschaften können leicht als einfache Konsequenzen der eingangs formulierten Eigenschaften erkannt werden, sie stellen also keine weitergehenden Forderungen dar.

Unlösbarkeit des Maßproblems

Hier wird mittels einer auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali zurückgehenden Idee gezeigt, dass das Maßproblem für den eindimensionalen Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathbb R}^1 = {\mathbb R}} nicht lösbar ist. Dazu konstruiert man eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\subset[0,1]} , die sogenannte Vitali-Menge, mit folgenden Eigenschaften:

1. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} verschiedene rationale Zahlen, so ist $(p+V)\cap (q+V)=\emptyset$. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p+V} die um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} verschobene Menge.
2. Ist die Folge $(p_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ eine Abzählung der im Intervall $[-1,1]$ enthaltenen rationalen Zahlen, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle [0,1]\subset\bigcup_{n=1}^\infty p_n+V} .

Daraus ergibt sich nun leicht die Unlösbarkeit des Maßproblems. Wäre nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} eine Lösung, so wäre wegen der zweiten Eigenschaft und weil jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_n+V} im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [-1,2]} liegt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1] \subset\bigcup_{n=1}^\infty p_n+V \subset [-1,2].}

Da $[-1,2]=[-1,0)\cup [0,1]\cup (1,2]$ überlegt man sich leicht, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu([-1,2])=3} sein muss. Aus der Monotonie ergibt sich daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \le \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty p_n+V\right) \le 3.}

Nach der ersten Eigenschaft sind die Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_n+V} paarweise disjunkt, so dass aus der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \le \sum_{n=1}^\infty \mu(p_n+V) \le 3}

folgt. Nun sind die Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_n+V} alle kongruent, denn sie gehen durch Verschiebungen auseinander hervor. Daher sind die Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(p_n+V)} alle gleich. Dann kann die unendliche Summe aber nur 0 oder $\infty$ sein, sie kann jedenfalls nicht zwischen 1 und 3 liegen. Dieser Widerspruch zeigt, dass das Maßproblem nicht lösbar ist.

Es bleibt noch die Aufgabe, die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} anzugeben: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Q} \subset \R} ist eine Untergruppe. Jede Nebenklasse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Q}} enthält Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]} . Mit Hilfe des Auswahlaxioms wählen wir aus jeder Nebenklasse von $\mathbb {Q}$ ein solches Element und fassen diese zur Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} zusammen. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]} enthalten, und man überlegt sich leicht, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} auch die beiden genannten Eigenschaften hat. Die erste Eigenschaft gilt, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} aus jeder Nebenklasse genau ein Element enthält. Zum Nachweis der zweiten Eigenschaft sei $x\in [0,1]$ beliebig. Dieses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} muss in irgendeiner Nebenklasse liegen, denn die Vereinigung über alle Nebenklassen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} aus jeder Nebenklasse ein Element enthält, gibt es ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\in V} , das in derselben Nebenklasse wie $x$ liegt, für dieses gilt daher $x-v\in \mathbb {Q}$. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} beide zwischen 0 und 1 liegen, ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-v\in[-1,1]} , d. h. es gibt ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x-v\,=\,p_m} . Dann folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle x=p_m+v\in p_m+V \subset \bigcup_{n=1}^\infty p_n+V} , was den Beweis beendet.

Damit ist die Unlösbarkeit des Maßproblems für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathbb R}^1} vollständig gezeigt. Daraus ergibt sich sofort auch die Unlösbarkeit in höheren Dimensionen, denn wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_n} eine Lösung des Maßproblems für die Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , so wäre durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_1(A):=\mu_n(A\times [0,1]^{n-1}) }

eine Lösung des eindimensionalen Falls gegeben, von deren Nichtexistenz wir uns aber gerade überzeugt haben.

Historische Bemerkungen

Mathematiker vergangener Tage waren mit Begriffen wie Flächeninhalt oder Volumen recht sorglos umgegangen. Erst durch die cantorsche Mengenlehre und die damit einhergehende strengere Formalisierung der Mathematik konnten solche Probleme überhaupt erkannt und formuliert werden. Die älteste Formulierung des Maßproblems geht auf Henri Léon Lebesgue zurück. In seiner 1902 eingereichten Dissertation weist er darauf hin, es nicht allgemein lösen zu können, sondern nur für eine bestimmte Klasse von Mengen, die er messbar nannte. Bereits 1904 konnte Giuseppe Vitali die Unlösbarkeit des Maßproblems zeigen.

Die Messung der Größe einer Menge (Länge, Flächeninhalt, Volumen) ist aber eine der wesentlichen Aufgabenstellungen in der Mathematik, was nicht nur für Anwendungen, sondern auch für viele mathematische Theorien von fundamentaler Bedeutung ist. Ein Ausweg aus diesem Dilemma könnte darin bestehen, die Forderungen an das Maß abzuschwächen. Das hat Felix Hausdorff 1914 getan, indem er die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Additivität durch die schwächere Forderung der Additivität ersetzte. Man spricht dann nicht von einem Maß, sondern von einem Inhalt. Es ist klar, dass Vitalis Argumentation für Inhalte zusammenbricht, und Felix Hausdorff konnte tatsächlich zeigen, dass es in den Dimensionen 1 und 2 Inhalte gibt, aber für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\ge 3} gibt es diese auch nicht mehr (siehe Banach-Tarski-Paradoxon).

Als sehr viel erfolgreicher hat sich ein anderer Ausweg erwiesen. Man behält die stärkere und für viele Beweise wichtige technische Forderung der $\sigma$-Additivität bei und verkleinert den Bereich der Mengen, denen man ein Maß zuordnet, wie es Lebesgue bereits in seiner Doktorarbeit getan hat. Daraus sind die Maßtheorie und die lebesguesche Integrationstheorie hervorgegangen. Felix Hausdorff schreibt 1914 in seinem Buch Grundzüge der Mengenlehre dazu:

Die Theorie des Inhalts hat sich in zwei Stufen entwickelt, die man am besten durch zwei Gesetze für additives Verhalten charakterisiert. Der Inhaltsbegriff der älteren Stufe, auf Ansätzen von G. Cantor und H. Hankel beruhend und von G. Peano und C. Jordan vervollständigt, erfüllt die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(A+B)\,=\,f(A)+f(B) }

für zwei (oder endlich viele) paarweise fremde Mengen; der Inhaltsbegriff der neueren Stufe, den wir E. Borel und H. Lebesgue verdanken, erfüllt die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(A+B+C+\cdots)=f(A)+f(B)+f(C)+\cdots }

für eine endliche oder abzählbare Menge von Summanden. Der älteren Stufe entspricht der Riemannsche, der neuen der Lebesguesche Integralbegriff. Der Übergang vom Endlichen zum Abzählbaren darf als einer der größten Fortschritte in der Mathematik bezeichnet werden ...

Man beschränkt sich also auf die sogenannten Lebesgue-messbaren Mengen. Vitalis Argument zeigt dann, dass die oben angegebene Menge V nicht Lebesgue-messbar sein kann, was auch als Satz von Vitali bekannt ist. Das Verfahren zur Gewinnung dieser Menge V ist nicht konstruktiv, da das Auswahlaxiom verwendet wurde. Die Frage, ob die Verwendung des Auswahlaxioms (oder einer schwächeren Variante dieses Axioms) zwingend ist, wurde 1970 von Robert M. Solovay mit ja beantwortet, indem er ein Modell der Mengenlehre angab, in dem das Auswahlaxiom nicht gilt und in dem jede Teilmenge von $\mathbb {R}$ messbar ist.

Quellen

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Co, Leipzig 1914 (Zahlreiche Nachdrucke).
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1.
• Robert M. Solovay: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. In: Annals of Mathematics. Second Series, Bd. 92, Nr. 1, 1970, S. 1–56.