Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag $\rho$ und ihre Phase $S$ gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} } , so erhält man die Madelunggleichungen:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0}
   
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}} = 0,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

Interpretation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} wird als Wirkung interpretiert, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla S} als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:

1. $\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0,$
2. ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),$

wobei

• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m} (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. $\nabla S=m\cdot {\vec {v}}$ (Impuls)
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• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}} (Massedichte) mit Normierungsbedingung $\int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1$ bzw. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m} zu jeder Zeit $t$
• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}} (Bohmsches Quantenpotential).

Bedeutung

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Siehe auch

• De-Broglie-Bohm-Theorie

Literatur

• R. Tsekov: Dissipative Time Dependent Density Functional Theory. In: International Journal of Theoretical Physics. 48, 2009, S. 2660​–2664. arxiv:0903.3644. bibcode:2009IJTP...48.2660T. doi:10.1007/s10773-009-0054-6.