Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag $\rho$ und ihre Phase $S$ gemäß $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S}$, so erhält man die Madelunggleichungen:

1. $\partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0$
   
2. $\partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0,$

wobei $V$ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

Interpretation

$S$ wird als Wirkung interpretiert, $\nabla S$ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:

1. $\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0,$
2. ${\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),$

wobei

• ${\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m$ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. $\nabla S=m\cdot {\vec {v}}$ (Impuls)
  ​
• $\rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}$ (Massedichte) mit Normierungsbedingung $\int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1$ bzw. $\int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m$ zu jeder Zeit $t$
• $Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$ (Bohmsches Quantenpotential).

Bedeutung

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Siehe auch

• De-Broglie-Bohm-Theorie

Literatur

• R. Tsekov: Dissipative Time Dependent Density Functional Theory. In: International Journal of Theoretical Physics. 48, 2009, S. 2660​–2664. arxiv:0903.3644. bibcode:2009IJTP...48.2660T. doi:10.1007/s10773-009-0054-6.