Mealy-Automat

Ein Mealy-Automat ist ein deterministischer endlicher Automat, dessen Ausgabe von seinem Zustand und seiner Eingabe abhängt; in der Veranschaulichung wird jeder Kante im Zustandsdiagramm ein Ausgabewert zugeordnet. Der Name geht auf den Mathematiker George H. Mealy zurück.

Formale Definition

Ein Mealy-Automat kann als 6-Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{A} = \left( Q, \Sigma, \Omega, \delta, \lambda, q_0 \right)} definiert werden:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} ist eine endliche Menge von Zuständen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| Q \right| < \infty} ). Statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} wird oft auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} verwendet.
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} ist das Eingabealphabet, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \Sigma \right| < \infty} .
3. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} ist das Ausgabealphabet, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \Omega \right| < \infty} .
4. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta\colon Q \times \Sigma \rightarrow Q} ist die Übergangsfunktion.
5. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \lambda \colon Q\times \Sigma \rightarrow \Omega } ist die Ausgabefunktion.
   Gelegentlich wird eine kompaktere Notation gewählt und beide Funktionen zu einer Zustandsübergangsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta\colon Q \times \Sigma \rightarrow \Omega \times Q} zusammengefasst.
6. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_0 \in Q } ist der Startzustand. Statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_0} wird oft auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0} oder $S_{0}$ verwendet. Dieser Startzustand wird mit einer doppelten Umrandung bzw. einem Doppelpfeil gekennzeichnet.

Beispiel

Der durch das folgende Zustandsdiagramm beschriebene Automat gibt seine Eingabe verzögert aus, d. h. zu einer Eingabe x₀x₁...x_n erzeugt er die Ausgabe 0x₀x₁...x_n-1. Hierbei bedeutet die Kantenbeschriftung 0/1, dass bei Eingabe einer Null zusätzlich zum Wechsel des Zustands eine Eins ausgegeben wird. S bezeichnet den jeweiligen Zustand.

Zusammenhang mit Moore-Automat

Die Ausgabe eines Moore-Automaten hängt im Gegensatz zum Mealy-Automaten nicht von seiner Eingabe ab. Mealy- und Moore-Automaten lassen sich ineinander umwandeln. Will man beispielsweise einen Mealy-Automaten in einen Moore-Automaten umwandeln, kann man in folgenden drei Schritten vorgehen:

Schritt 1: Ausgabe in die Knoten schreiben

Für jede Kante wird die Ausgabe in den Zustand übertragen, auf dem die Kante endet. Hierbei stehen in der Regel verschiedene Ausgabewerte in einem Zustandsknoten.

Der Automat aus dem Beispiel mit Ausgabe in den Knoten

Schritt 2: Knoten aufspalten und eingehende Kanten umhängen

Die Zustände werden vervielfacht, so dass jedem Zustand nur noch höchstens ein Ausgabewert zugeordnet ist; anschließend hängt man eingehende Kanten entsprechend der Ausgabewerte auf die neuen Zustände um.

Schritt 3: Ausgehende Kanten vervielfachen

Zuletzt muss man alle ausgehenden Kanten der ursprünglichen Zustände kopieren und an die Zustände aus Schritt 2 anhängen.

Die Ausgabe des so konstruierten Moore-Automaten ist äquivalent zu der des ursprünglichen Mealy-Automaten.

Der fertige Moore-Automat

Siehe auch

• Moore-Automat
• Deterministischer endlicher Automat

Literatur

• G. H. Mealy: A Method for Synthesizing Sequential Circuits, Bell System Tech. J. 34, pp. 1045–1079, September 1955.
• Fricke, Digitaltechnik, Kapitel 8 "Synchrone Schaltwerke" bis inklusive 8.4. ISBN 978-3-8348-1783-9
• Reichardt, Lehrbuch Digitaltechnik, Kapitel 12 "Entwurf synchroner Zustandsautomaten". ISBN 978-3-11-047800-6