Modell harter Kugeln

Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistischen Mechanik. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige Moleküle auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid-Modellsystemen. Siehe auch Hard-core-Prozess.

Formale Definition

Harte Kugeln mit Durchmesser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\left(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2}\right)=\begin{cases} 0 & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|\geq\sigma\\ \infty & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|<\sigma \end{cases}}

wobei $\mathbf {r} _{1}$ und $\mathbf {r} _{2}$ die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.

Harte-Kugeln-Modell für ein Gas

Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {B_{2}}{v_{0}}}}	=	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 4{\frac {}{}}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{B_3}{{v_0}^2}}	=	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10{\frac{}{}}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{B_4}{{v_0}^3}}	=	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{712}{35}+\frac{219 \sqrt{2}}{35 \pi}+\frac{4131}{35 \pi} \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 18{,}365}

Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}}}	=	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 28{,}24 \pm 0{,}08}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{B_6}{{v_0}^5}}	=	$39{,}5\pm 0{,}4$
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{B_7}{{v_0}^6}}	=	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 56{,}5 \pm 1{,}6}

Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki gefunden werden.

Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den Packungsdichten für Gefrieren Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \eta _{\mathrm {f} }\approx 0{,}494} und Schmelzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_\mathrm{m}\approx 0{,}545} . Der Druck divergiert bei der dichtesten Zufallspackung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_\mathrm{rcp}\approx 0{,}644} für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei dichtesten Kugelpackung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_\mathrm{cp}=\sqrt{2}\pi/6 \approx 0{,}74048} für den stabilen festen Zweig.

Harte-Kugeln-Modell für eine Flüssigkeit

Der Strukturfaktor für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die Percus-Yevick-Näherung berechnet werden.

Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln (Durchgezogene Line – stabiler Ast, gestrichelte Line – metastabiler Ast): Druck $P$ als Funktion der Packungsdichte (Kristallographie) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta}

Verallgemeinerungen

Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.

Literatur

• J. P. Hansen, I. R. McDonald: Theory of Simple Liquids. 4. Auflage, Academic Press, London 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

Weblinks

• Hard sphere model. SklogWiki (zum Harte-Kugeln-Modell).