Monodromiesatz

Der Monodromiesatz ist ein wichtiger mathematischer Satz aus dem Gebiet der Funktionentheorie und beschreibt die Homotopie-Invarianz der analytischen Fortsetzung einer holomorphen Funktion.

Monodromiesatz

Es seien

• $\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$ zwei homotope Wege in $\mathbb {C}$ (Menge der komplexen Zahlen),
• $h:=h(t,\tau )$ eine Homotopie zwischen $\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$,
• $K$ eine offene Kreisscheibe um den gemeinsamen Anfangspunkt von $\alpha$ und ${\tilde {\alpha }}$,
• $f_{0}\colon K\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf der offenen Kreisscheibe $K$ in die Menge der komplexen Zahlen,
• $K'$ eine weitere offene Kreisscheibe in $\mathbb {C}$,
• $f_{1},{\tilde {f}}_{1}\colon K'\to \mathbb {C}$ zwei Funktionen auf $K'$ nach $\mathbb {C}$.

Außerdem bezeichne $h_{\tau }:=h(\cdot ,\tau )$ den $\tau$-ten Einzelweg der Homotopie $h$.

Satz

Es sei $f_{0}$ längs eines jeden $h_{\tau }$ analytisch fortsetzbar, dann gilt: Entstehen $f_{1}$ und ${\tilde {f}}_{1}$ aus $f_{0}$ durch analytische Fortsetzung längs $\alpha$ bzw. ${\tilde {\alpha }}$, so ist $f_{1}={\tilde {f}}_{1}$.