Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra:

Es sei $M$ ein endlich erzeugter nichttrivialer $R$-Modul und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von $R$ liegt. Dann ist ${\mathfrak {a}}M\neq M$.

Beweis

Wir nehmen ${\mathfrak {a}}M=M$ an. Es sei $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}$ ein minimales Erzeugendensystem von $M$. Da $M$ nichttrivial ist, folgt $n\geq 1$ und $u_{n}\not =0$.

Da nach Annahme $u_{n}\in {\mathfrak {a}}M$, gäbe es dann eine Gleichung der Form $u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ mit $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, also $(1-a_{n})u_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}$.

Da $a_{n}$ im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor $1-a_{n}$ eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

• Ist $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, $N$ ein Untermodul und ${\mathfrak {a}}\subset J(R)$ ein Ideal, so gilt

$M={\mathfrak {a}}M+N\ \Rightarrow \ M=N$.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird, kann man zum Heben von Basen verwenden:

• Es seien $R$ ein lokaler Ring, ${\mathfrak {m}}$ sein maximales Ideal und $\kappa :=R/{\mathfrak {m}}$ der Restklassenkörper.

Sind dann $x_{1},\ldots ,x_{n}$ Urbilder einer Basis des $\kappa$-Vektorraums $M/{\mathfrak {m}}M$, so erzeugen die $x_{i}$ den Modul $M$.