Nevanlinna-Theorie

Die Nevanlinna-Theorie, benannt nach ihrem Begründer Rolf Nevanlinna, gehört in das mathematische Teilgebiet der Funktionentheorie. Sie trifft Aussagen über die Werteverteilung meromorpher Funktionen.

Überblick

Grundgedanke der Nevanlinna-Theorie (oder Werteverteilungstheorie) ist es, eine quantitative Fassung des Satzes von Picard zu gewinnen. Dieser Satz besagt, dass es für verschiedene Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a_1,a_2,a_3} aus der Riemannschen Zahlenkugel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}} keine nicht-konstante meromorphe Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle f:\mathbb {C} \to {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{a_{1},a_{2},a_{3}\}} gibt. Um eine quantitative Fassung dieses Satzes zu gewinnen, betrachtet man für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r>0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a\in \overline{\mathbb{C}}} die Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)} der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} -Stellen einer nicht konstanten, meromorphen Funktion $\displaystyle f$ im abgeschlossenen Kreis um 0 mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r} . Dabei werden die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} -Stellen gemäß Vielfachheit gezählt. Es stellt sich als geeigneter heraus, statt der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)} die integrierte Anzahlfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)=\int_0^r \frac{n(t,a,f)}{t} dt}

zu betrachten. (Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a=f(0)} muss dies geringfügig modifiziert werden, siehe unten.) Nevanlinna definierte nun eine charakteristische Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)} , die mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle r} gegen unendlich strebt, und zeigte, dass für die meisten Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)} von der gleichen Größenordnung sind. Genauer besagen seine beiden Hauptsätze, dass

$\displaystyle N(r,a,f)\leq T(r,f)+O(1)$

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a\in \overline{\mathbb{C}}} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^q N(r,a_j,f) \geq (q-2) T(r,f) -S(r,f) }

für verschiedene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a_1,a_2,\dots,a_q\in \overline{\mathbb{C}}} , mit einem im Vergleich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)} sehr kleinen Fehlerterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle S(r,f)} . Der Picardsche Satz folgt hieraus unmittelbar.

Die Nevanlinna-Charakteristik

Damit das die Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)} definierende Integral auch für $\displaystyle a=f(0)$ existiert, definiert man die Anzahlfunktion genauer als oben angegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N(r,a,f)=\int_0^r \frac{n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t} dt +n(0,a,f)\log r.}

Offensichtlich gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)=n(r,\infty,1/(f-a))} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)=N(r,\infty,1/(f-a))} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a\in \mathbb{C}} . Kurz schreibt man auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,f)=N(r,\infty,f)} , womit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,1/(f-a))=N(r,a,f)} für $\displaystyle a\in \mathbb {C}$. Des Weiteren definiert man die Schmiegungsfunktion durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m(r,f)=m(r,\infty,f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \log^+|f(re^{i\theta})|d\theta,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \log^+x=\max\{0,\log x\}} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a\in \mathbb{C}} setzt man entsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle m(r,a,f)=m(r,\infty,1/(f-a))} . Die Nevanlinna-Charakteristik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)} ist dann definiert durch

$\displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).$

Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)\to\infty} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r\to\infty} , wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle f} nicht konstant ist. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle f} transzendent, gilt sogar

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac{T(r,f)}{\log r}=\infty.}

Für ganze Funktionen ist der Maximalbetrag

$M(r,f)=\max _{|z|\leq r}|f(z)|$

ein Maß für das Wachstum der Funktion. Für $\displaystyle 1<r<R$ gilt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\leq {\dfrac {R+r}{R-r}}T(R,f).}

Die Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \rho(f)} einer meromorphen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle f} ist definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(f) = \limsup_{r \rightarrow \infty} \dfrac{\log T(r,f)}{\log r}.}

Für ganze Funktionen kann man aufgrund der obigen Beziehung zwischen Nevanlinna-Charakteristik und Maximalbetrag hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f)} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \log M(r,f)} ersetzen. Funktionen endlicher Ordnung bilden eine wichtige und ausführlich untersuchte Klasse meromorpher Funktionen.

Alternativ zur Nevanlinna-Charakteristik kann man auch eine von Lars Valerian Ahlfors und Shimizu Tatsujirō eingeführte Variante verwenden. Die Ahlfors-Shimizu-Charakteristik unterscheidet sich von der Nevanlinna-Charakteristik nur um einen beschränkten Term.

Die Nevanlinnaschen Hauptsätze

Der Erste Hauptsatz besagt, dass für alle $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$

$\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1)$

gilt. Insbesondere gilt also

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)\leq T(r,f)+O(1).}

Der erste Hauptsatz ist eine einfache Folgerung aus der Jensenschen Formel.

Wesentlich tiefer liegt der Zweite Hauptsatz. Dieser besagt, dass für verschiedene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a_1,a_2,\dots,a_q\in \overline{\mathbb{C}}} die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^q m(r,a_j,f) \leq 2 T(r,f) -N_1(r,f)+S(r,f) }

gilt, wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N_1(r,f) = 2N(r,f) - N(r,f') + N\left(r,\dfrac{1}{f'}\right) \geq 0 }

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle S(r,f)} ein im Vergleich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle T(r,f) } kleiner Fehlerterm ist. Genauer gilt, dass eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle E\subset [1,\infty)} von endlichem Maß existiert, so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r) }

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r\to\infty} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r\notin E} .

Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes erkennt man, dass die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (q-2) T(r,f)\leq \sum_{j=1}^q N(r,a_j,f) -N_1(r,f)+S(r,f) }

eine äquivalente Formulierung des zweiten Hauptsatzes ist.

Der Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N_1(r,f)} zählt die mehrfachen Stellen der Funktion. Bezeichnet man mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \overline{n}(r,a,f)} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \displaystyle {\overline {N}}(r,a,f)} die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)} entsprechenden Funktionen, wobei aber auch mehrfache $\displaystyle a$-Stellen nur einfach gezählt werden, so erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (q-2) T(r,f)\leq \sum_{j=1}^q \overline{N}(r,a_j,f) +S(r,f). }

Die Defektrelation

Eine der wesentlichen Folgerungen aus dem zweiten Hauptsatz ist die Defektrelation. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a\in \overline{\mathbb{C}}} nennt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta(a,f)=\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{m(r,a,f)}{T(r,f)} = 1 - \limsup_{r \rightarrow \infty} \dfrac{N(r,a,f)}{T(r,f)} }

Nevanlinnadefekt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} . Das zweite Gleichheitszeichen gilt dabei nach dem ersten Hauptsatz, da $\displaystyle T(r,f)\to \infty$ für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle r\to\infty} . (Es sei immer vorausgesetzt, dass $\displaystyle f$ nicht konstant ist.) Aus dem ersten Hauptsatz folgt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle 0\leq \delta(a,f)\leq 1 } für alle $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$. Man nennt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} defekten Wert oder Nevanlinnaschen Ausnahmewert, wenn $\displaystyle \delta (a,f)>0$ gilt. Nach dem zweiten Hauptsatz ist die Menge der defekten Wert abzählbar und es gilt die Defektrelation

$\sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,$

wobei die Summe über alle defekten Werte gebildet wird. Die Defektrelation ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Satzes von Picard, denn ist $\displaystyle f$ transzendent und nimmt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle f} den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} nur endlich oft an, so gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \delta(a,f)=1} . Auch eine von Borel gegebene Verschärfung des Satzes von Picard folgt leicht aus dem zweiten Hauptsatz.

Weitere Resultate zu Defekten

Ein zentrales Problem der Nevanlinnatheorie war lange, ob die Defektrelation und die Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle 0\leq \delta(a,f)\leq 1} die einzigen Einschränkungen für die Nevanlinnadefekte einer meromorphen Funktion sind. Dieses sogenannte Umkehrproblem der Nevanlinnatheorie wurde 1976 von David Drasin gelöst. (Für ganze Funktionen war es vorher durch Wolfgang Fuchs und Walter Hayman gelöst worden.) Für Funktionen endlicher Ordnung gibt es jedoch verschiedene weitere Einschränkungen. Gilt zum Beispiel Gleichheit in der Defektrelation, so folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle \rho(f)=n/2} mit einer natürlichen Zahl $n\geq 2$. Dies war von Rolf Nevanlinnas Bruder Frithiof vermutet worden und wurde 1987 von Drasin bewiesen. Als weiteres Ergebnis über Nevanlinnadefekte meromorpher Funktionen endlicher Ordnung sei exemplarisch ein Ergebnis von Allen Weitsman genannt, der 1972 zeigte, dass für solche Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{a}\delta(a,f)^{1/3}<\infty}

gilt.

Viele weitere Resultate zu Nevanlinnadefekten finden sich in den unten angegebenen Büchern, wobei das Buch von Goldberg und Ostrovskii einen Anhang von A. Eremenko und J. K. Langley enthält, in dem auch neuere Entwicklungen dargestellt sind.

Anwendungen

Die Nevanlinnatheorie hat Anwendungen in verschiedenen Gebieten gefunden. So hat sie sich als wesentliches Hilfsmittel bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen im Komplexen erwiesen, siehe etwa die Bücher von Jank-Volkmann und Laine.

Nevanlinna bewies als eine der ersten Anwendungen seiner Theorie folgenden Eindeutigkeitssatz: Stimmen die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle a} -Stellen zweier meromorpher Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle g} für 5 Werte $\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}$ überein, so gilt $\displaystyle f=g$. Dieser Satz war Ausgangspunkt für viele andere Sätze dieses Typs.

In neuerer Zeit stießen von Paul Vojta gefundene Analogien zwischen Nevanlinnatheorie und Diophantischer Approximation auf großes Interesse, vgl. das Buch von Ru.

Verallgemeinerungen

Dieser Artikel beschränkt sich auf die klassische Theorie in einer komplexen Veränderlichen. Es gibt diverse Verallgemeinerungen, etwa auf algebroide Funktionen, holomorphe Kurven, Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher und quasireguläre Abbildungen.

Literatur

• A. A. Goldberg, I. V. Ostrovskii: Distribution of values of meromorphic functions. American Mathematical Society, 2008; (Übersetzung: russisches Original 1970).
• W. K. Hayman: Meromorphic functions. Oxford University Press, 1964.
• G. Jank, L. Volkmann: Einführung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen. Birkhäuser, Basel/ Boston/ Stuttgart 1985.
• I. Laine: Nevanlinna theory and complex differential equations. Walter de Gruyter, New York 1993.
• R. Nevanlinna: Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes. Gauthier-Villars, Paris 1929.
• R. Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen. Springer, Berlin 1953.
• Min Ru: Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation. World Scientific, River Edge, NJ, 2001.