Nielsen-Thurston-Klassifikation

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Mathematik beschreibt die Nielsen-Thurston-Klassifikation die möglichen Typen der Selbstabbildungen von Flächen.

Aufbauend auf Arbeiten von Jakob Nielsen wurde sie 1976 von William Thurston mittels der von ihm konstruierten Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums bewiesen. Einen direkten Beweis mittels Teichmüller-Theorie gab Lipman Bers.

Klassifikation

Sei eine geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht und sei

ein orientierungserhaltender Homöomorphismus. Dann gilt für mindestens eine der folgenden drei Alternativen.

  1. ist periodisch: es gibt ein , so dass isotop zur Identitätsabbildung ist
  2. ist reduzibel: es gibt eine endliche Familie disjunkter einfacher geschlossener Kurven, die bis auf Isotopie von permutiert werden
  3. ist pseudo-Anosovsch, d. h. Isotop zu einem Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Beweisidee

Thurston konstruierte eine Kompaktifizierung des Teichmüllerraums der Fläche durch den produktiven Raum der gemessenen Laminierungen auf , so dass die Wirkung eines Homöomorphismus auf dieser Kompaktifizierung stetig ist. Thurstons Kompaktifizierung ist homöomorph zur abgeschlossenen (6g-6)-dimensionalen Vollkugel. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer muss die Wirkung von also einen Fixpunkt haben. Es gibt dann folgende Möglichkeiten:

  1. wenn die Wirkung von einen Fixpunkt im Inneren, also im Teichmüllerraum hat, dann ist periodisch und der Fixpunkt entspricht einer hyperbolischen Metrik, bzgl. der isotop zu einer Isometrie ist
  2. wenn reduzibel ist, also bis auf Isotopie eine Multikurve festlast, dann hat die Wirkung von einen Fixpunkt im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums
  3. wenn die Wirkung von zwei Fixpunkte im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums hat, dann ist pseudo-Anosovsch und die beiden Fixpunkte entsprechen der stabilen und instabilen Laminierung des zu isotopen Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Geometrisierung von Abbildungstori

Thurston benutzte die Klassifikation der Homöomorphismen von Flächen, um die Geometrisierung 3-dimensionaler Abbildungstori zu beweisen. Diese ist wie folgt:

  1. wenn periodisch ist, dann hat der Abbildungstorus -Geometrie
  2. wenn reduzibel ist, dann hat der Abbildungstorus eine nichttriviale JSJ-Zerlegung
  3. wenn pseudo-Anosovsch ist, dann hat der Abbildungstorus eine hyperbolische Struktur

Algorithmus

Es gibt zahlreiche Algorithmen, die die Bestimmung des Nielsen-Thurston-Typs einer Abbildungsklasse in polynomieller Zeit (bzgl. der Wortlänge in der Abbildungsklassengruppe) ermöglichen.

Literatur

  • J. Nielsen: Surface transformation classes of algebraically finite type, Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd. 21, 89 (1944)
  • W. Thurston: On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 19, 417–431 (1988)
  • L. Bers: An extremal problem for quasiconformal mappings and a theorem by Thurston, Acta Math. 141, 73–98 (1978)
  • A. Fathi, F. Lauterbach, V. Poenaru: Travaux de Thurston, Asterisque 66/67 (1979)