Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls

Die Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls ist eine nicht elementare mathematische Konstante. Sie wurde von Karl Theodor Wilhelm Weierstrass eingeführt. Das Ableitungsquadrat von der Umkehrfunktion der verallgemeinerten Weierstrassschen ℘-Funktion ist immer der Kehrwert eines ganzrationalen kubischen Polynoms, bei dem der Koeffizient des kubischen Gliedes den Wert 4 und der Koeffizient des quadratischen Gliedes den Wert 0 annimmt. Wenn bei diesem kubischen Polynom der Koeffizient des linearen Gliedes den Wert 0 und der Koeffizient des absoluten Gliedes den Wert −1 annimmt, dann hat die reelle Halbperiode den Wert der Omega-2-Konstante.

Definition

Nach der genannten Beschreibung wird die Omega-2-Konstante auf folgende Weise definiert:

$\omega _{2}=\int _{\sqrt[{3}]{1/4}}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4x^{3}-1}}}\mathrm {d} x$

Im Dezimalsystem hat diese Konstante diese Nachkommastellen:

$\omega _{2}\approx 1{,}5299540370571928749131941723\ldots$

Eigenschaften

Diese Konstante kann über die Gammafunktion ausgedrückt werden:

$\omega _{2}={\frac {1}{4\pi }}\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}$

Ebenso kann die Omega-2-Konstante auf viele Weisen mit der eulerschen Betafunktion formuliert werden:

$\omega _{2}={\frac {1}{6{\sqrt[{3}]{2}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{6}};{\frac {1}{6}}{\biggr )}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{6}};{\frac {1}{3}}{\biggr )}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{3}};{\frac {1}{3}}{\biggr )}=$

$={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{4}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{6}};{\frac {1}{2}}{\biggr )}={\frac {1}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{4}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}}{\biggr )}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2}}}}\mathrm {B} {\biggl (}{\frac {1}{6}};{\frac {2}{3}}{\biggr )}$

Sie kann auch mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art dargestellt werden:

$\omega _{2}={\frac {\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}}K{\biggl [}\sin {\biggl (}{\frac {\pi }{12}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac {\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}}\sec {\biggl (}{\frac {\pi }{24}}{\biggr )}^{2}K{\biggl [}\tan {\biggl (}{\frac {\pi }{24}}{\biggr )}^{2}{\biggr ]}$

Analog zum Wallisschen Produkt kann folgende Formel aufgestellt werden:

$\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {3k(3k+2)}{(3k+1)^{2}}}=\omega _{2}/{\sqrt {3}}$

Die Superellipse der Relation $x^{3}+y^{3}=1$ hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

$\int _{0}^{1}{\sqrt[{3}]{1-x^{3}}}\mathrm {d} x=\omega _{2}/{\sqrt {3}}$

Die Superellipse der Relation $x^{6}+y^{6}=1$ hat als Fläche unter dem Graph im ersten Quadranten folgenden Wert:

$\int _{0}^{1}{\sqrt[{6}]{1-x^{6}}}\mathrm {d} x=\omega _{2}/{\sqrt[{3}]{4}}$

Als Analogon zur gaußschen Glockenkurve können folgende Integrale formuliert werden:

$\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{3})\mathrm {d} x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{4\pi \omega _{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }x\exp(-x^{3})\mathrm {d} x={\tfrac {1}{9}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{2\pi ^{2}{\omega _{2}}^{-1}}}$

Bezug zur Landauschen Konstante

Die Landausche Konstante dient zur Ermittlung der Komplexitätsgrenze des Bildbereichs holomorpher Funktionen. Sie beschreibt im Satz von Bloch die Radiusschranken und steht mit der Omega-2-Konstante in folgender Beziehung:

${\mathfrak {L}}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{4}}\pi \omega _{2}^{-1}$

Weblinks

• Equianharmonic Case
• (PDF) Infinite Series for Omega-2 Constant

Literatur

• Milton Abramowitz, I. A. Stegun (eds.); Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 55. 10th printing 1972.
• Eckhardt, U.: A rational approximation to Weierstrass’℘-function, in: Math. Comp.30 (1976), S. 818–826.
• Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003.
• Gasper, G., Rahman, M.: An indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic, and quartic summation and transformation formulas, Canad. J. Math.42 (1990), S. 1–27.
• Sloane, N. J. A: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Southard, T. H.: Approximation and table of the Weierstrass℘function in the equian-harmonic case for real argument, in: Math. Comp. 11(1957), S. 99–100.