Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.
Definition des Parameterintegrals
Es seien ein metrischer Raum, ein Maßraum, ein Banachraum und . Für alle sei über integrierbar bezüglich des Maßes . Dann heißt
Parameterintegral mit dem Parameter .
- Beispiel für Parameterintegrale
- Die Gammafunktion
Stetigkeit von Parameterintegralen
Sei ein metrischer Raum, ein Maßraum, ein Banachraum. Für eine Abbildung gelte
- für jedes ,
- (also stetig) für -f.a. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \Omega}
,
- Es gibt ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,\mathbb R)}
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Vert f(x,\omega)\Vert \leqslant g(\omega)}
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,\omega) \in X \times \Omega}
.
Dann ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \colon X \to E,\ x \mapsto \int_\Omega f(x,\omega)\mu(\mathrm d\omega)}
wohldefiniert und stetig.
Differenzierbarkeit von Parameterintegralen
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U \subset \mathbb R^d}
offen, ein Maßraum, ein Banachraum. Für eine Abbildung gelte
- für jedes ,
- (also stetig differenzierbar) für -f.a. ,
- Es gibt ein mit für .
Dann ist
stetig differenzierbar mit
Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.
Leibnizregel für Parameterintegrale
Folgender Spezialfall tritt manchmal auf: Sei
wobei die Funktion , , stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen,
ist und stetig differenzierbar sind. Dann ist auf dem offenen Intervall stetig differenzierbar, mit
Herleitung
Zur Herleitung kann man die Funktion
definieren und zeigen, dass sie auf stetig differenzierbar ist: existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von und folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Mit der Kettenregel ergibt sich dann
Literatur
- Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
- René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.