Pareto-Optimierung

In der Mathematik und im Operations Research bezeichnet man mit Pareto-Optimierung (nach Vilfredo Pareto; auch mehrkriterielle Optimierung, multikriterielle Optimierung oder Vektoroptimierung) das Lösen eines Optimierungsproblems mit mehreren Zielen, also eines mehrkriteriellen oder multikriteriellen Problemes.

In der Volkswirtschaftslehre bezeichnet ein Pareto-Optimum eine Ressourcenallokation mit der Eigenschaft, dass niemand besser gestellt werden kann, ohne dass ein anderer schlechter gestellt wird. Im einfachsten Fall einer Wirtschaft mit zwei Personen und zwei Gütern lassen sich die Pareto-Optima anhand der sogenannten Edgeworth-Box veranschaulichen. Pareto-Optimalität oder synonym Pareto-Effizienz kann damit als Abwesenheit von Verschwendung angesehen werden.

Überblick mit technischem Schwerpunkt

Bei vielen Optimierungsaufgaben lassen sich mehrere, voneinander grundsätzlich unabhängige Zielsetzungen definieren, zum Beispiel bei Kraftmaschinen der Wirkungsgrad, die maximale Leistung und der Schadstoffausstoß. Oft gibt es keine Lösung, die in allen Zielen zugleich jeweils am besten ist; die Ziele sind oft gegenläufig, und eine Verbesserung bezüglich eines Ziels bewirkt eine Verschlechterung bei einem anderen. Man kann sich zum Beispiel in der Situation befinden, dass man die maximale Leistung eines Motors nur erhöhen kann (eine Verbesserung), wenn gleichzeitig der Wirkungsgrad sinkt (eine Verschlechterung).

Das übliche Vorgehen zur Behandlung solcher Aufgaben ist es, die interessierenden Ziele als Teilziele aufzufassen und sie mittels Gewichtungsfaktoren zu einer gemeinsamen Zielfunktion zusammenzufassen. Man erhält auf diese Weise ein einfaches Problem – statt mehrerer Ziele hat man nun nur noch ein Ziel, die „multikriterielle Optimierung“ wird also auf ein (einziges) (Gesamt-)Kriterium reduziert. Dies löst man mit einem der unter Operations Research genannten Verfahren und bestimmt eine optimale Lösung für die gemeinsame Zielfunktion.

Bei nicht ineinander umrechenbaren Zielgrößen, wie etwa im gegebenen Beispiel, sind die anzusetzenden Gewichtungsfaktoren willkürlich und in bestimmten Rahmen subjektiv. Hierdurch ergibt sich auch eine entsprechende Willkürlichkeit beim Auffinden der gesuchten „besten“ Lösung des Optimierungsproblems. Eine sinnvolle Vorgehensweise ist in solchen Fällen die separate Optimierung für alle möglichen Kombinationen von Gewichtungsfaktoren. Dabei wird man in der Regel nicht eine einzelne beste Lösung finden, da die Zielkriterien meist miteinander in Konflikt stehen (wie oben die maximale Leistung und der Wirkungsgrad).

Da keine eindeutig beste Lösung definiert ist, bestimmt man eine Menge von Lösungen des Optimierungsproblems, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann, also die Menge optimaler Kompromisse. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge oder Pareto-Optimum des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems, deren Elemente als Pareto-optimal. Es ist zu beachten, dass die Pareto-Menge im Allgemeinen nicht vollständig durch die Variation von Gewichtungsfaktoren bestimmt werden kann.

Ist die Pareto-Menge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, so können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele (verschiedene Gewichtungsfaktoren) angegeben werden. Die Paretomenge enthält dann für beliebige relative Teilzielgewichtungen jeweils mindestens eine Lösung, die bei dieser Gewichtung optimal ist.

Dimension und Visualisierung

Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Pareto-Menge eine (n-1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen (bei einem linearen Optimierungsproblem ist diese Grenzfläche ein Ausschnitt einer Hyperebene). Das Pareto-Optimum eines zwei-kriteriellen Problems (z. B. Leistung versus Drehmoment einer Kraftmaschine) ist eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm.

Ab vier Dimensionen ist keine direkte Visualisierung der Pareto-Menge mehr möglich. Stattdessen kann der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa das Sterndiagramm interaktiv erfasst werden.

Literatur

• Matthias Ehrgott: Multicriteria Optimization. Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems 491, Springer Verlag, 2000.