Perfekte Partition

In der Additiven Zahlentheorie, einem der mathematischen Teilgebiete innerhalb der Zahlentheorie, wie auch im Teilgebiet der Kombinatorik untersucht man, ob eine zu einer natürlichen Zahl gegebene Partition so beschaffen ist, dass jede kleinere natürliche Zahl sich ebenfalls als Summe von einzelnen Summanden dieser Partition eindeutig darstellen lässt. Diese Fragestellung und das zugehörige Konzept gehen zurück auf den Mathematiker Percy Alexander MacMahon (1854–1929).

Definition

Es sei eine natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \in \N \,} gegeben und weiter eine Partition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( n = n_1+n_2+ \ldots +n_k ) \, } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, k, n_1,n_2 , \ldots , n_k \in \N \, } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, n_1 \geq n_2 \geq \ldots \geq n_k } .

Genügt diese Partition zusätzlich der Bedingung, dass

jede der Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,m=1,2,\ldots, n-1 \,} sich stets aus gewissen der in dieser Partition auftretenden Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n_1 , n_2 , \ldots , n_k \, } auf genau eine Art als Summe darstellen lässt,

so bezeichnet man sie als perfekt oder auch als vollkommen (englisch perfect partition).

Eigenschaften und Beispiele

• In einer perfekten Partition tritt die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 1 \, } stets als kleinster Summand auf.
• Für jedes $\,n\in \mathbb {N} \,$ ist die aus exakt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \,} Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 1 \, } aufgebaute Partition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( n = 1+1+ \ldots +1 ) \, } stets perfekt. Weiter ist für jede ungerade Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n=2 \cdot k + 1 \, (k \in \N) \,} die aus einem einzigen Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 1 \, } und aus exakt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, k \,} Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 2 \, } aufgebaute Partition $\,(n=1+2+2+\ldots +2)\,$ stets perfekt.
• Für die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 7 \, } sind die Partitionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 7 = 4+2+1 ) \, } , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 7 = 4+1+1+1 ) \, } , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 7 = 2+2+2+1 ) \, } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 7 = 1+1+1+1+1+1+1 ) \, } perfekt.
• Für die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 4 \, } ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 4 = 2+1+1 ) \, } keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl $\,2\,$ die beiden Partitionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, (2 = 2) \, } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, (2 = 1+1) \, } .
• Für die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 9 \, } ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( 9 = 4+2+2+1 ) \, } keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, 5 \, } die beiden Partitionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, (5 = 4+1) \, } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, (5 = 2+2+1) \, } .

Satz von MacMahon

Die perfekten Partitionen stehen in unmittelbarer Beziehung zu den sogenannten geordneten Faktorisierungen von natürlichen Zahlen.

Eine solche geordnete Faktorisierung ist für eine natürliche Zahl $\,f\in \mathbb {N} \,$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,f > 1 \,} genau dann gegeben, wenn ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, t \in \N \,} sowie ein aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, f \,} -Teilern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, f_1 > 1, \ldots, f_t > 1 \,} bestehendes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, t \,} -Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, (f_1 , \ldots, f_t ) \,} vorliegen, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, f \,} der Produktdarstellung $\,f=f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{t}\,$ genügt.

Hier gilt nun ein grundlegender Satz, der dem Mathematiker James Joseph Tattersall zufolge auf MacMahon zurückgeht und sich darstellen lässt wie folgt:

Für jede natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \in \N \,} stimmen die Anzahl der perfekten Partitionen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \,} einerseits und die Anzahl der geordneten Faktorisierungen der Folgezahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, f= n + 1 \,} andererseits stets überein.

Korollar

Aus dem MacMahon'schen Satz gewinnt man eine direkte Folgerung:

Ist für eine natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \in \N \,} die Folgezahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, f= n + 1 \,} eine Primzahl, so besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \,} genau eine perfekte Partition, nämlich die aus den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \,} Summanden $\,1\,$ aufgebaute triviale Partition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, ( n = 1+1+ \ldots +1 ) \, } .

Anzahlfunktion

Mit den perfekten Partitionen ist die Frage nach den zugehörigen Anzahlen verbunden. Es geht also für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,n \in \N \,} um die Anzahl aller Möglichkeiten, $\,n\,$ in Form einer perfekten Partition darzustellen.

Diese Zahlenfolge der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, \mathrm{Per}( n ) \, } beginnt mit folgenden Werten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathrm{Per} \left( n \right))_{n=1,2,3,\ldots} = \left( 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 8, \dotsc \right)} (Folge A002033 in OEIS).

Dabei gelten für diese Anzahlen oft interessante Kongruenzbeziehungen, die denen ähneln, die schon Srinivasa Ramanujan für die gewöhnliche Partitionsfunktion gefunden hat. So ist etwa für je zwei natürliche Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, k \geq 2 \, , \, n \,} und jede Primzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, p \, } stets die Kongruenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathrm{Per}({n \cdot p^k - 1}) } \equiv 0 \pmod {2^{k - 1}} }

gegeben.

Verallgemeinerungen

Das Konzept der perfekten Partition ist weiter verallgemeinert worden. So legten etwa A. K. Agarwal und R. Sachdeva in 2018 die sogenannten n-color perfect partitions (deutsch etwa: n-gefärbte perfekte Partitionen) vor.

Literatur

• Martin Aigner: Combinatorial Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 234). Springer-Verlag, Berlin, New York 1979, ISBN 0-387-90376-3 (MR0542445). 
• A. K. Agarwal, M. V. Subbarao: Some properties of perfect partitions. In: Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 22, 1991, S. 737–743 (MR1128892). 
• A. K. Agarwal, R. Sachdeva: Combinatorics and n-color perfect partitions. In: Ars Combinatoria. Band 136, 2018, S. 29–43 (MR3752586). 
• Heinz-Richard Halder, Werner Heise: Einführung in die Kombinatorik (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Hanser Verlag, München, Wien 1976, ISBN 3-446-12140-4 (MR0498160). 
• P. A. MacMahon: Combinatory Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 1915. 
• Augustine O. Munagi: Perfect compositions of numbers. Art. 20.5.1. In: Journal of Integer Sequences. Band 23, 2020 (MR4115755). 
• John Riordan: An Introduction to Combinatorial Analysis. Princeton University Press, Princeton 1978, ISBN 0-691-08262-6. 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 ([1]). 
• Wang, E Fang: Perfect partitions. In: Chinese Annals of Mathematics. Series B. Band 7, 1986, S. 267–272 (MR0867751). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Perfect Partition. In: MathWorld (englisch).
• Eintrag Perfekte Partition im Lexikon der Mathematik (2017)