Perfektoider Ring
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Ein perfektoider Ring ist ein spezieller topologischer Ring. Der Begriff wurde 2012 von Peter Scholze in seiner Theorie perfektoider Räume eingeführt.
Definition
Sei eine feste Primzahl. Ein perfektoider Ring ist ein vollständiger und gleichmäßiger Tatescher Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit (auch pseudo-uniformisierendes Element genannt) besitzt, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- teilt im Ring potenz-beschränkter Elemente .
- Der Frobenius-Homomorphismus ist bijektiv.
Ein perfektoider Körper ist ein perfektoider Ring, der ein Körper ist.[1]
Erläuterungen zu den Begriffen in der Definition:
- Ein vollständiger Huber-Ring ist ein vollständiger topologischer Ring , der einen offenen Teilring besitzt, der wiederum ein endlich erzeugtes Ideal besitzt, sodass in der Teilraumtopologie von eine Umgebungsbasis von ist. Gefordert ist lediglich die Existenz von bzw. . ist also ein -adischer Ring.
- Ein vollständiger Huber-Ring heißt Tatesch, falls er eine topologisch nilpotente Einheit besitzt. Das ist ein invertierbares Element mit für .
- Ein topologischer Ring heißt gleichmäßig, falls der Teilring potenz-beschränkter Elemente eine beschränkte Teilmenge von ist. Das heißt, dass für jede Umgebung der eine offene Umgebung der existiert, sodass für alle und alle gilt.[2]
Literatur
- Sophie Morel: Adic spaces, abgerufen am 30. Dezember 2020.
- Peter Scholze: Perfectoid spaces.