Perronsche Formel

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Die Perronsche Formel, benannt nach Oskar Perron, ist eine wichtige Summationsformel, die in der analytischen Zahlentheorie Verwendung hat. Grob gesagt drückt sie Summen zahlentheoretischer Funktionen bis zu einer Abbruchschranke über ein Integral aus, welches die von eben dieser Funktion erzeugte Dirichlet-Reihe enthält.

Aussage

Es sei eine Dirichlet-Reihe, die irgendwo konvergiert, ihre Konvergenzabszisse und ihre absolute Konvergenzabszisse. Für jedes definiert man die summatorische Funktion

wobei für alle nicht-natürlichen einfach 0 ist. Dann gilt für die Formel

wobei das Integral im Falle von bedingt konvergiert und für im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes existiert.

Effektive Versionen

Es existieren auch effektive Formulierungen der Perronschen Formel. In diesen bricht das Integral nach endlichem Weg ab und es kann eine Fehlerabschätzung gegeben werden. Unter den gleichen Voraussetzungen wie in der nicht-effektiven Version gilt für , und

Dabei bezeichnet die O-Notation von Landau. Diese wird manchmal auch Erste effektive Perronsche Formel genannt.

Unter weiteren Voraussetzungen an die Dirichlet-Reihe kann dieses Resultat noch verbessert werden. Gibt es eine Zahl mit der Eigenschaft

und ist eine nicht-fallende Funktion mit , so gilt für , , die Formel

Diese wird auch als Zweite effektive Perronsche Formel bezeichnet.

Literatur

  • Gérald Tenenbaum: Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, AMS, Vol. 163, 1995, S. 217–227.