Pfad (Stochastik)
Als einen Pfad bezeichnet man in der Stochastik die Realisierungen eines stochastischen Prozesses. Deutet man die Indexmenge des Prozesses als Zeit und die Werte des Prozesses als räumliche Position, so "läuft" der Prozess mit zunehmender Zeit einen Pfad ab. Wichtig hierbei ist, dass es sich bei den Pfaden um Konkretisierungen bzw. Auswertungen des stochastischen Prozesses handelt. Dies lässt sich wie folgt vorstellen: Der stochastische Prozess hat ein gewisses Potential, bestimmte Zustände anzunehmen, ebenso wie ein Würfel ein Potential hat, eine gewisse Augenzahl zu zeigen. Ein Pfad eines Prozesses entspricht nun einer Konkretisierung dieses Potentials, am Beispiel des Würfels entspricht dies der Bestimmung einer Augenzahl durch das Werfen des Würfels.
Definition
Gegeben sei ein stochastischer Prozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum mit Indexmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I \subset \R } , der Werte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E } annimmt.
Dann heißt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \Omega } die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \mapsto X_t(\omega) }
mit Definitionsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } und Zielmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E } ein Pfad von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } .
Bemerkung
Oft ist man an Eigenschaften von Pfaden wie beispielsweise Stetigkeit interessiert. Dafür benötigt man noch zusätzliche Struktur auf der Zielmenge wie zum Beispiel eine Metrik. Allgemein handelt es sich bei Pfaden um Funktionen in einer reellen Variable, bei entsprechender Struktur auf der Zielmenge können Pfaden demnach auch Eigenschaften wie Differenzierbarkeit oder ähnliches zukommen.
Haben für fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \Omega } die Pfade Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle t\mapsto X_{t}(\omega )} die Eigenschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } , so sagt man auch, dass der Prozess fast sicher die Eigenschaft besitzt. Somit kann man auch sinnvoll von stetigen, càdlàg oder differenzierbaren stochastischen Prozessen sprechen.
Beispiel
Betrachte als Beispiel eine unabhängig identisch Bernoulli-verteilte Folge von Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=(X_n)_{n \in \N} } mit Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in (0,1) } . Dies entspricht einem Bernoulli-Prozess. Ein möglicher Pfad wäre
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 - 0 - 1 - 1 -0-1-1-1-0-0-1-0-1- \dots } ,
ein weiterer
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - 0 - 0 - 1 -0-1-0-1-0-1-1-0-1- \dots } .
Die konkrete Wahrscheinlichkeit des Pfades ist hier irrelevant, solange er möglich ist.
Verwendung: Visualisierung und Klassifikation stochastischer Prozesse
Pfade finden oft Verwendung in der Modellierung und der Visualisierung von stochastischen Prozessen. Außerdem werden einige stochastische Prozesse über die Eigenschaften ihrer Pfade definiert. So nennt man einen stochastischen Prozess einen
- linksstetigen Prozess, wenn fast alle Pfade linksseitig stetig sind
- rechtsstetigen Prozess, wenn fast alle Pfade rechtsseitig stetig sind
- stetigen Prozess, wenn fast alle Pfade stetig sind
- RCLL-Prozess oder Càdlàg-Prozess, wenn fast alle Pfade RCLL sind
- differenzierbar, hölderstetig etc., wenn fast alle Pfade differenzierbar, hölderstetig etc. sind
So wird beim Wiener-Prozess beispielsweise in der Definition gefordert, dass er stetig sein soll.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 469, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 269, doi:10.1007/b137972.