Phasengang
Der Phasengang, auch Phasenfrequenzgang oder Phasenmaß (englisch
), wird meistens im Zusammenhang mit dem Amplitudengang oder Amplitudenfrequenzgang betrachtet.
Aus der Phasenverschiebung lässt sich über eine Ableitung nach der Frequenz die Gruppenlaufzeit errechnen, die anschaulich gesprochen die frequenzabhängige Signalverzögerung beschreibt.
Amplituden- und Phasengang zeigen in der Darstellung der Frequenzebene in einem Signal oder frequenzsensitiven System die Abhängigkeit der Amplitude und der Phase von der Frequenz (Amplituden- und Phasendiagramm).
Vereinfacht gesagt, gibt der Phasengang die frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal an. Ein einfaches Beispiel ist ein Hochpassfilter, an dem ein sinusförmiges Signal angelegt wird. Je nach Frequenz ist das Ausgangssignal zum Eingangssignal phasenverschoben.
Beide Größen als Graph dargestellt, bezeichnet man auch als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. Phasengang (Phasenfrequenzgang), in Kombination auch Bode-Diagramm genannt. Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.
Messtechnische Einschränkungen
In der Messtechnik wird zum Aufnehmen des Phasengang üblicherweise ein kontinuierliches Sinussignal verwendet, was dazu führt, dass Phasenverschiebungen nur im Bereich von ±180° bzw. ±π gemessen werden können. Aus einem messtechnisch aufgenommenen Phasengang lässt sich daher nur bedingt die Gruppenlaufzeit ableiten.
Theorie
Zunächst trennt man die Übertragungsfunktion eines kausalen, linearen, zeitinvarianten Systems nach Real- und Imaginärteil auf:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H(\mathrm{j}\omega)=M(\omega)+\mathrm{j}N(\omega) }
In einem zweiten Schritt benötigt man das Übertragungsmaß
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\Gamma(\omega) = A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega) } ,
das mit der Übertragungsfunktion durch folgende Gleichung zusammenhängt:
Der zweite Faktor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}e^{-jB(\omega)}} , ist hierbei der Phasenterm, dementsprechend entspricht das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}B(\omega)} der Phase in Abhängigkeit von der Frequenz und stellt den Phasengang dar.
Führt man nun die Phase Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}B(\omega)} auf die ursprüngliche Übertragungsfunktion zurück, ergibt sich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(\omega) = -\arctan{\frac{N(\omega)}{M(\omega)}} }
Die Nicht-Eindeutigkeit der Arkustangens-Funktion führt zu den in den oberen Abschnitten beschriebenen Einschränkungen (Wertebereich nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}-\pi} bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\pi} ).
Problematisch sind diejenigen Stellen, an denen die Übertragungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H(j\omega)} Null- oder Polstellen aufweist, da sich durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\Gamma = - \ln{H(\mathrm{j}\omega)}}
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\Gamma} dort dann Singularitäten ergeben.
Um die Phase nun bestimmen zu können, ist es sinnvoll, vom Fourier-Bereich in den Laplace-Bereich (s-Ebene) zu wechseln (vgl. Laplace-Transformation), also nicht nur die imaginäre Achse, sondern die komplette komplexe Frequenzebene zu betrachten. Eine erste Forderung, die benötigt wird, um den Phasenverlauf bestimmen zu können, ist
Damit ist ein Startwert festgelegt, um die Nicht-Eindeutigkeit der Phase (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\pm 2\pi} ) zu umgehen. Um den Phasenverlauf nun tatsächlich bestimmen zu können, läuft man in der s-Ebene entlang der imaginären Achse ausgehend vom Ursprung zu den positiven Frequenzen und vom Ursprung aus in Richtung der negativen Frequenzen und umgeht dabei die Pol- und Nullstellen durch halbkreisförmige „Einbuchtungen“ in die rechte Halbebene.
Erklärung anhand eines Beispiels: n-fache Nullstelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H(s)} bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0} .
Taylor-Entwicklung in der Nähe der Nullstelle, Abbruch nach dem ersten Glied:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H(s) = (s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} }
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H^{(n)}} den Wert der n-ten Ableitung an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\mathrm{j}\omega_0} meint.
Halbkreisförmige Einbuchtung: Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\rho} , Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\theta = [-\tfrac{\pi}{2} \ldots \tfrac{\pi}{2}]}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta} }
folgt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}H(s)(s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = (\mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = \rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta}}
und demnach:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\Gamma(\omega) = -\ln{H(s)}=-\ln(\rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta})=-n\ln{\rho}-\ln {H^{(n)}}-\mathrm{j}n\theta }
für die Phase gilt nun:
Da sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\theta} entlang dieser Einbuchtung um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}\pi} ändert, ändert sich die Phase insgesamt um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {}-n\cdot \pi} .
Bei einer Polstelle ergeben sich die umgekehrten Vorzeichenverhältnisse, die Phase nimmt um Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {}}n\cdot \pi } zu.
Siehe auch
Literatur
- Alfred Fettweis: Elemente nachrichtentechnischer Systeme. 2. Auflage. J.Schlembach Fachverlag, Wilburgstetten 2004, ISBN 3-935340-41-9.
- Gert Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik. 6. Auflage. AULA-Verlag GmbH, Wiesbaden 1997, ISBN 3-89104-614-6.
- Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker Band 2. 13. Auflage. Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.
